3.5 速度分析

有了位置向量，其對時間之導數即為速度，故理論上應可由位置向量之表示法進行演繹延伸，得到相關之速度。速度的因變數為時間，即為位移之時間變化率。在動力學方面，機構之轉動則常以轉動之角度為因變數，因此常必須轉換。下面所述即為導數之轉換過程。設某一任意連桿之位置向量為r，其複數表示如下：

　r = rejθ ------(3.17)

3-5.1 速度公式

物體之位移對時間t微分的結果設為Ｖ，則速度Ｖ為：

Ｖ=dr/dt=d/dt(rejθ)=r'ejθ+jrθ'ejθ
=r'ejθ+jrωejθ
=(r'+jrω)ejθ
=(r'+jrω)(cos(θ)+sin(θ))
=r'ejθ+rωej(θ+π/2)------------------------------------------(3.18)

若連桿組由三桿組成，則就三連桿之位置向量進行微分，可以得到如圖1.1中之最終速度Vp之變化，即：

Ｖp=rp'=r1'+r2'+r3'
=Σk=1-3(rk'+jrkωk)ejθk
=Σk=1-3(rk'+jrkω)(cos(θk)+sin(θk))
=Σk=1-3(rk'cos(θk)-rkωksin(θk)+j(rk'sin(θk)+rkωkcos(θk))
              ----------------------------------------(3.19)

上式中若桿長固定或徑向無速度變化時， r'項為零，故可簡化如下：

Ｖp=rp'=r1'+r2'+r3'
=Σk=1-3jrkωk)ejθk
=Σk=1-3jrkω(cos(θk)+jsin(θk))
=Σk=1-3rkωk(-sin(θk)+jcos(θk))-----------------------------(3.20)

若變換為直角座標時，則對應如下：

Ｖp=rp'=r1'+r2'+r3'           
=Σk=1-3(rk'cos(θk)-rkωksin(θk)+j(rk'sin(θk)+rkωkcos(θk))
                         ------------------------------(3.21)

程式內容

程式velo2.m可以輸入位置向量及對應之角速度，由此計算其合位移及速度，其中包括絕對值及對應角度。在此程式中，假設徑向量無變化，故成為多桿連結的狀況。各桿之長度與角度採一對一的型式。角速度可以單一值亦可配合各桿之對應值。若不輸入則以一單位代替。

輸出部份有sv與thetap，前者中有兩項，一項為位移絕對值，另一項為速度之絕對值。thetap則為對應之水平夾角，以度數表示，亦分為兩項，前者屬合位移之夾角，後者則為合速度之夾角，兩者依原理應相互垂直，或相差九十度。

function [sv,thetap]=velo2(theta,rho,omega)
% Find the velocity Vp for the
%    connecting vectors with theta,rho and w
% theta: angle in degrees for each vector
% rho: radial displacement, or link length
% omega: angular velocity of each vector
% Example: [sv,thetap]=velo2([20 40 50],[3 4 5],2)
theta=theta(:);rho=rho(:);
n=length(rho);
if nargin==2,
omega=ones(size(rho));
elseif length(omega)==1
omega=ones(size(rho))*omega;
end
omega=omega(:);
d2g=pi/180; %轉換為弧度
itheta=i*theta*d2g;
ss=rho.*exp(itheta);
vv=i*rho.*exp(itheta).*omega; %將極座標換為複數座標
sp=sum(ss);vp=sum(vv); %行矩陣之加總
sv=[abs(sp) abs(vp)];%位移與速度之絕對值
thetap=[angle(sp) angle(vp)]/d2g;%位移與速度之相角,並轉回一般角度

設有支連桿以旋轉結相連，其位置向量分別為[3 4 5]公分，角度為[20 40 50]度，角速度均為５rad/s，利用velo2函數可以計算其合位移及速度向量，其對應量存於sv(1)及sv(2)，其對應向量水平角分別為thetap(1)，thetap(2)：

>> [sv,thetap]=velo2([20 40 50],[3 4 5],5)
sv =
11.744       58.721
thetap =
39.23       129.23

下面之程式是將各桿之位置圖，速度向量圖及合速度圖繪出。利用函數vectordraw可以得到比較的圖案。其程式結構如下：

function [ss,vv]=vectordraw(r,dg,w)
% Example: [ss,vv]=vectordraw([10 20 30],[30 40 50],[1 2 3])
d2g=pi/180;
r=r(:);dg=dg(:);w=w(:);
ith=exp(i*dg*d2g);
s=r.*ith;v=i*s.*w;s=[0;s];
x0=real(s(1));y0=imag(s(1));
for k=1:length(r)
 x1=real(s(k+1))+x0;y1=imag(s(k+1))+y0;
 line([x0 x1],[y0 y1],'marker','o','linewidth',2);
 line([x1 x1+real(v(k))],[y1 y1+imag(v(k))],'marker','>>','color','r')
 x0=x1;y0=y1;
end
ss=[real(sum(s)) imag(sum(s))];
vv=[real(sum(v)) imag(sum(v))];
line([0 ss(1)],[0 ss(2)],'linestyle',':','linewidth',2)
line([ss(1) ss(1)+vv(1)],[ss(2) ss(2)+vv(2)],...
'marker','>','color','g','linewidth',2)
axis equal;grid on

設連桿長為[10 20 30]度，對應水平角度為[30 50 90]cm，其對應角速度為[1 2 3]rad/s，則可依上述函數指令執行如下：

>> vectordraw([10 20 30],[30 50 90],[1 2 3])
ans =
21.5160   50.3209

藍色代表連桿位置，紅色為各桿之速度，虛線及綠色為合速度之方向及大小