3.2 複數之運算

一般運算

設某一複數Z=x + yj。若 Z=0，表示其實數部份與虛數部份之係數應為0，即 x=0； y=0。而共軛複數(Congugate) 亦應成立。同理若有兩個複數Z1=x1+y1j與Z2=x2+y2j若相等，即表示x1=x2；y1=y2。因此，一個複數之等式，應可分為兩個等式方程式。此外，在複數的國度裡，下面的運算恆真：

Z1 ± Z2=(x1 ± x2)+j(y1 ± y2)
Z1*Z2=(x1*x2-y1*y2)+j(x1*y2+x2*y1) -------(1.8)
Z1/Z2=(x1+jy1)/(x2+jy2)
    =(x1+jy1)(x2-jy2)/(x2+jy2)(x2-jy2)
    =[x1*x2+y1*y2+j(x2*y1-x1*y2)]/[x2²+y2²]--(1.9)

設Ｚ之共軛複數z=x-jy，則下列式亦恆真：

Z*z=x²+y²
Z+z=2x =real(Z)
Z-z=2jy=imag(Z)
conj(Z1 ± Z2)=z1 ± z2
conj(Z1*Z2)=z1*z2
conj(Z1/Z2)=z1/z2 ------- (1.10)

在MATLAB中有一指令conj可以設定共軛複數，例如：

>> Z=10+6j
Z =
       10 +          6i
>> z=conj(Z) %共軛複數
z =
       10 -          6i
>> Z2=3+5j
Z2 =
        3 +          5i
>> Z*Z2　%複數相乘
ans =
        0 +         68i
>> Z/Z2 %複數相除
ans =
   1.7647 -    0.94118i
>> Z*z  %複數與其共軛複數相乘
ans =
136
>> Z+z %複數與其共軛複數相加
ans =
 20
>> Z-z %複數與其共軛複數相減
ans =
        0 +         12i
>> conj(Z+Z2) %兩複數和之共軛複數
ans =
       13 -         11i
>> conj(Z)+conj(Z2) %與其共軛複數和相同
ans =
       13 -         11i
>> conj(Z*Z2) %兩複數積之共軛複數
ans =
        0 -         68i
>> conj(Z)*conj(Z2) %等於兩共軛複數之積
ans =
        0 -         68i
>> conj(Z/Z2) %兩複數除數之共軛複數
ans =
   1.7647 +    0.94118i
>> conj(Z)/conj(Z2) %等於兩共軛複數相除
ans =
   1.7647 +    0.94118i

範例

設兩複數分別為 z1=2+j(3)^1/2、z2=5e^j(pi/4) ，試利用MATLAB求 z1+z2、z1*z2、z1/z2等項之值。

［解］

>> z1=2+sqrt(3)*j
z1 =           2 +     1.7321i
>> z2=5*exp(pi/4*j)
z2 =      3.5355 +     3.5355i
>> a=z1+z2
a =      5.5355 +     5.2676i
>> b=z1*z2
b =     0.94734 +     13.195i
>> c=z1/z2
c =     0.52779 -   0.037894i

複數之微分

上面各式之關係可以在運算過程中善加利用。將複數式進行對θ微分，會具有如下之型式：

 d/dθ[ejθ] = jejθ-----(1.11)

證明上式可依尤拉轉換公式，將其轉為正弦與餘弦函數：

　　d/dθ[ejθ] =
    =d/dθ(cosθ+jsinθ)
    =-sinθ+jcosθ=j(cosθ+jsinθ)
    =jejθ

設有一向量B=10e^jθ，其中θ＝60度，經對角度θ微分後，其值應為：

 dB/dθ=10jejθ

利用matlab指令可依序計算及比較如下：

>> theta=60*pi/180 %角度轉為弧度
theta =
    1.0472
>> B=10*exp(j*theta)　%向量Ｂ　
B =
        5 +     8.6603i
>> dB=10*j*exp(j*theta)　%第一微分後之向量dB
dB =
  -8.6603 +          5i

>> BB=[real(B) imag(B) 0] %將向量Ｂ轉為三維分向量，最後一項為零
BB =
         5       8.6603            0
>> DB=[real(dB) imag(dB) 0]　%將向量dＢ轉為三維分向量
DB =
   -8.6603            5            0
>> cross(DB,BB)　%兩向量應相垂直，其叉積應在Z軸上
ans =
  0     0  -100
>> dot(DB,BB)　%兩向量相垂直，其點積應為零
ans =
  0

因此，一般之向量可以應用複數指數表示，然後依其微分之方式求得對應之梯度值。以圖1.1為例。rp 之位置向量可為下列三個向量之和：

rp = r1+r2+r3
 = r1ejθ1+r2ejθ2+r3ejθ3
 =r1(cosθ1+jsinθ1)+r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ2+jsinθ2)----(1.12)

故實際的分析仍然回到三角函數之垂直向量的領域。其微分的過程亦循其在直角座標之分向量分別進行。