1/24/07

3.2 複數之運算

一般運算


設某一複數Z=x + yj。若 Z=0,表示其實數部份與虛數部份之係數應為0,即 x=0; y=0。而共軛複數(Congugate) 亦應成立。同理若有兩個複數Z1=x1+y1j與Z2=x2+y2j若相等,即表示x1=x2;y1=y2。因此,一個複數之等式,應可分為兩個等式方程式。此外,在複數的國度裡,下面的運算恆真:

Z1 ± Z2=(x1 ± x2)+j(y1 ± y2)
Z1*Z2=(x1*x2-y1*y2)+j(x1*y2+x2*y1) -------(1.8)
Z1/Z2=(x1+jy1)/(x2+jy2)
=(x1+jy1)(x2-jy2)/(x2+jy2)(x2-jy2)
=[x1*x2+y1*y2+j(x2*y1-x1*y2)]/[x2²+y2²]--(1.9)

設Z之共軛複數z=x-jy,則下列式亦恆真:

Z*z=x²+y²
Z+z=2x =real(Z)
Z-z=2jy=imag(Z)
conj(Z1 ± Z2)=z1 ± z2
conj(Z1*Z2)=z1*z2
conj(Z1/Z2)=z1/z2 ------- (1.10)

在MATLAB中有一指令conj可以設定共軛複數,例如:

>> Z=10+6j
Z =
10 + 6i
>> z=conj(Z) %共軛複數
z =
10 - 6i
>> Z2=3+5j
Z2 =
3 + 5i
>> Z*Z2 %複數相乘
ans =
0 + 68i
>> Z/Z2 %複數相除
ans =
1.7647 - 0.94118i
>> Z*z %複數與其共軛複數相乘
ans =
136
>> Z+z %複數與其共軛複數相加
ans =
20
>> Z-z %複數與其共軛複數相減
ans =
0 + 12i
>> conj(Z+Z2) %兩複數和之共軛複數
ans =
13 - 11i
>> conj(Z)+conj(Z2) %與其共軛複數和相同
ans =
13 - 11i
>> conj(Z*Z2) %兩複數積之共軛複數
ans =
0 - 68i
>> conj(Z)*conj(Z2) %等於兩共軛複數之積
ans =
0 - 68i
>> conj(Z/Z2) %兩複數除數之共軛複數
ans =
1.7647 + 0.94118i
>> conj(Z)/conj(Z2) %等於兩共軛複數相除
ans =
1.7647 + 0.94118i

範例


設兩複數分別為 z1=2+j(3)1/2、z2=5ej(pi/4) ,試利用MATLAB求 z1+z2、z1*z2、z1/z2等項之值。

[解]

>> z1=2+sqrt(3)*j
z1 = 2 + 1.7321i
>> z2=5*exp(pi/4*j)
z2 = 3.5355 + 3.5355i
>> a=z1+z2
a = 5.5355 + 5.2676i
>> b=z1*z2
b = 0.94734 + 13.195i
>> c=z1/z2
c = 0.52779 - 0.037894i

複數之微分


上面各式之關係可以在運算過程中善加利用。將複數式進行對θ微分,會具有如下之型式:

d/dθ[e] = je-----(1.11)

證明上式可依尤拉轉換公式,將其轉為正弦與餘弦函數:

  d/dθ[e] =
=d/dθ(cosθ+jsinθ)
=-sinθ+jcosθ=j(cosθ+jsinθ)
=je

設有一向量B=10e,其中θ=60度,經對角度θ微分後,其值應為:

dB/dθ=10je

利用matlab指令可依序計算及比較如下:

>> theta=60*pi/180 %角度轉為弧度
theta =
1.0472
>> B=10*exp(j*theta) %向量B 
B =
5 + 8.6603i
>> dB=10*j*exp(j*theta) %第一微分後之向量dB
dB =
-8.6603 + 5i

>> BB=[real(B) imag(B) 0] %將向量B轉為三維分向量,最後一項為零
BB =
5 8.6603 0
>> DB=[real(dB) imag(dB) 0] %將向量dB轉為三維分向量
DB =
-8.6603 5 0
>> cross(DB,BB) %兩向量應相垂直,其叉積應在Z軸上
ans =
0 0 -100
>> dot(DB,BB) %兩向量相垂直,其點積應為零
ans =
0

因此,一般之向量可以應用複數指數表示,然後依其微分之方式求得對應之梯度值。以圖1.1為例。rp 之位置向量可為下列三個向量之和:

rp = r1+r2+r3
= r1e1+r2e2+r3e3
=r1(cosθ1+jsinθ1)+r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ2+jsinθ2)----(1.12)

故實際的分析仍然回到三角函數之垂直向量的領域。其微分的過程亦循其在直角座標之分向量分別進行。