第六章 四連桿機構基本解析

前面章節中，雖然已針對部份四連桿作不同的分析，但大部份純介紹性質，使初學者對MATLAB之應用有一個基本的認識，但對於同一組連桿中之整體分析仍必須考慮到其運動間之限制，使其運動特性均能在分析的過程中一一顯現。本節開始將針對不同的機構作完整的探討，並與程式的運用結合。

為與其他型式有區別，四桿固定長度應屬基本型，這是最常見的型式，故值得先提出討論，茲分別依位置、速度及加速度等項目進行分析。

6-1位置分析

為取得一致性，四連桿之機構中各連桿之長度及水平夾角須有統一的命名，本節中對四連桿之長度及對應角度均以r1、r2、r3及r4與θ1、θ2、θ3、θ4表示，而輸出、入之矩陣參數則以r或θ向量表示，即r=[ r1 r2 r3 r4]，θ=[θ1 θ2 θ3 θ4]。其序號代表1為固定桿、2為曲柄桿(crank)、3為結合桿(coupler)、4為搖桿(rocker)。這些定義及標示依問題的特性而變，尤其在以電腦程式進行分析時，其認定更為重要。

傳統的四連桿分析以點之運動特性為主，只要求得某一特定點的速度或加速度即可，這是受限於圖解法之不便與費時。目前的分析工作傾向用電腦計算，其所需耗費時間較短，亦可在一般電腦程式之分析同時獲得整體性的數值，甚至瞭解某一點之運動軌跡；因此各點間之相關運動及相互影響也有必要進一步解讀。

圖6.1所示為一個典型的四連桿的結構，就其中點P之位置而言，可令O點為參考點，此時計算P點之位置可有OQP及ORP兩個途徑。以向量表示如下：

rp = r2 +r3 = r1 + r4

圖6.1 四連桿之關係位置及各桿名稱

以複數表示，可為：

r2ejθ2+r3ejθ3=r1ejθ1+r4ejθ4

以尤拉式表示：

 r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ3+jsinθ3)=
             r1(cosθ1+jsinθ1)+r4(cosθ4+jsinθ4)   (6.1)

將實數部份與虛數分開，並歸納之：

  r2cosθ2+r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4
  r2sinθ2+r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4               (6.2)

此二公式又稱為閉合方程式(closure equation)，所有的解析過程均由此式先建立，然後再往後延伸。由於閉合公式以點O為起點，點P為終點，故其對應角度應如圖6.1所示，各角均以水平正方向為準。除此而外，原則上這兩式並未有限制因子，但實際情況，仍可依分析的內容設定其需求條件。在本節之分析中，與前面第四章之分析略為不同之處在於將第一桿之角度θ1也納入公式內一併考慮，這對四連桿之各種狀況之分析應有幫助。圖6.1所示之四桿長度均為固定，故各桿上之點間不會有連線上之相對速度或加速度，且桿1原則上設為固定，故其速度與加速度均為零。

除桿1固定外，四連桿中應有一桿為主動桿，由該桿輸入運動力源使整組四連桿可以活動。以本例而言，桿2為曲柄，故動力應由此桿傳入，其餘兩桿(桿3與桿4)均為被動桿。在應用上，桿2與桿3均可被選為輸入桿，並以桿4輸出。

在本例中，r1、r2、 r3、 r4及θ1均為定值，θ2為輸入，其餘θ3、θ4均為輸出。且因而分析中之r'、r"等項亦應為零。

6-1.1情況一：曲桿為主動桿,θ2為輸入

改寫公式(6.2)，得：

  r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2
  r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2       (6.3)

兩邊平方相加，消去θ3：

r3²=r1²+r2²+r4²+2r1r4(cosθ1cosθ4+sinθ1sinθ4)
  -2r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)
  -2r1r4(cosθ2cosθ4+sinθ2sinθ4)          (6.4)

消去θ3之後其變數僅剩θ4，其係數雖多，但可以改寫成下面的型式：

 A cosθ4+B sinθ4 + C=0　　　　            (6.5)

其對應之係數ＡＢＣ表示如下：

A=2r1r4cosθ1-2r2r4cosθ2
B=2r1r4sinθ1-2r2r4sinθ2
C=r1²+r2²+r4²-r3²-2r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2) (6.6)

為求得 A cosθ4+B sinθ4 + C=0　之解θ4，通常利用半角公式，令

  β=tan(θ4/2)  

代入三角函數：

sinθ4 = 2tan(θ4/2)/[1+tan²(θ4/2) = 2β/[1+β²]
cosθ4 = [1-tan²(θ4/2)/[1+tan²(θ4/2)
       = [1-β²]/[1+β²]                        (6.7)

將此二式代入基本公式(6.5)，則

A{[1-β²]/[1+β²]} +B{2β/[1+β²]} + C = 0

展開之，得：

　A(1-β²)+2Bβ+C(1+β²)=0
或
(C-A)β²+2Bβ+ (A+C)=0               (6.8)

解此二次方程式，得

 β=[-B ± (B²-C²+A²)1/2]/(C-A) 　　　 (6.9)

此處β應有二根，代表兩個位置解，有時稱為兩個模式。至於採取正值或負值，則應依實際之情況加以判斷。

獲得β值之後，即可求由β=tan(θ4/2) 求得θ4，亦即：

  θ4 = 2tan-1β        　　　　　　　 (6.10)

由於-π/2≤tan^-1β≤π/2，故 -π≤θ4≤π。
值得注意的是，B²- C²+A²≥0，亦即B²+A²≥ C²才能獲得實數的根，若無法達滿足這個條件，表示所給的桿長無法構成四連桿。因此這一個不等式可作為測試四連桿是否成立的一個準則。

有了θ4之後，仍需要求θ3，此時可以回到原來之閉合方程式(6.3)，先行移項，得：

  r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2
  r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2     (6.11)

兩式左右相除，可得：

  tanθ3=[r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2]/[r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2]

由原來公式(6.3)亦可改寫如下：

  r4sinθ4=r3sinθ3+r2sinθ2-r1sinθ1
  r4cosθ4=r3cosθ3+r2cosθ2-r1cosθ1       (6.12)

如此亦可先消去θ4，解θ3，然後重複前面的程序，再解θ4。這種技巧，在後面的速度及加速度分析上均可運用。因為有些情況利用前一方式可能產生無解，反而可以利用後一方程式得到所需要的解，其結果亦相同。

6-1.2情況二：聯結桿為主動桿，θ3為輸入

上面之分析結果均以第二桿為主動，輸出為第四或第三桿。但在應用上，若第三桿為主動桿，而第二與第四為輸出桿時，其情況將會不同。而這種情況在傳統之圖解法更不容易求得其解。但利用數值法，則仍可根據公式(6.1)稍作改變，再加以分析，即：

 r2sinθ2=r1sinθ1+r4sinθ4-r3sinθ3
 r2cosθ2=r1cosθ1+r4cosθ4-r3cosθ3           (6.13)

與公式(6.3)比較，兩式之格式完全相同，僅在2與3之位置掉換而已。故在分析上，所用之解法應相同。在f4bar()這個函數當中，有設一個driver的控制參數，作為區分驅動桿，然後應用相同的程式解法。這項技術亦應用於上項之程式中。

有了上述之θ1、θ2、θ3及θ4之後，配合各桿之長度即可求得點P、Q、R等之位置向量：

  Rq=r2ejθ2=r2(cosθ2+jsinθ2)                (6.14)
  Rp=r2ejθ2+r3ejθ3
    =r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ3+jsinθ3)     (6.15)

或者

  Rp=r1ejθ1+r4ejθ4
    =r1(cosθ1+jsinθ1)+r4(cosθ4+jsinθ4)     (6.16)
  Rr=r4ejθ4=r4(cosθ4+jsinθ4)                (6.17)