2/4/07

第六章 四連桿機構基本解析

前面章節中,雖然已針對部份四連桿作不同的分析,但大部份純介紹性質,使初學者對MATLAB之應用有一個基本的認識,但對於同一組連桿中之整體分析仍必須考慮到其運動間之限制,使其運動特性均能在分析的過程中一一顯現。本節開始將針對不同的機構作完整的探討,並與程式的運用結合。

為與其他型式有區別,四桿固定長度應屬基本型,這是最常見的型式,故值得先提出討論,茲分別依位置、速度及加速度等項目進行分析。

6-1位置分析


為取得一致性,四連桿之機構中各連桿之長度及水平夾角須有統一的命名,本節中對四連桿之長度及對應角度均以r1、r2、r3及r4與θ1、θ2、θ3、θ4表示,而輸出、入之矩陣參數則以r或θ向量表示,即r=[ r1 r2 r3 r4],θ=[θ1 θ2 θ3 θ4]。其序號代表1為固定桿、2為曲柄桿(crank)、3為結合桿(coupler)、4為搖桿(rocker)。這些定義及標示依問題的特性而變,尤其在以電腦程式進行分析時,其認定更為重要。

傳統的四連桿分析以點之運動特性為主,只要求得某一特定點的速度或加速度即可,這是受限於圖解法之不便與費時。目前的分析工作傾向用電腦計算,其所需耗費時間較短,亦可在一般電腦程式之分析同時獲得整體性的數值,甚至瞭解某一點之運動軌跡;因此各點間之相關運動及相互影響也有必要進一步解讀。

圖6.1所示為一個典型的四連桿的結構,就其中點P之位置而言,可令O點為參考點,此時計算P點之位置可有OQP及ORP兩個途徑。以向量表示如下:

rp = r2 +r3 = r1 + r4



圖6.1 四連桿之關係位置及各桿名稱

以複數表示,可為:

r2ejθ2+r3ejθ3=r1ejθ1+r4ejθ4


以尤拉式表示:

r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ3+jsinθ3)=
r1(cosθ1+jsinθ1)+r4(cosθ4+jsinθ4) (6.1)

將實數部份與虛數分開,並歸納之:

r2cosθ2+r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4
r2sinθ2+r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4 (6.2)

此二公式又稱為閉合方程式(closure equation),所有的解析過程均由此式先建立,然後再往後延伸。由於閉合公式以點O為起點,點P為終點,故其對應角度應如圖6.1所示,各角均以水平正方向為準。除此而外,原則上這兩式並未有限制因子,但實際情況,仍可依分析的內容設定其需求條件。在本節之分析中,與前面第四章之分析略為不同之處在於將第一桿之角度θ1也納入公式內一併考慮,這對四連桿之各種狀況之分析應有幫助。圖6.1所示之四桿長度均為固定,故各桿上之點間不會有連線上之相對速度或加速度,且桿1原則上設為固定,故其速度與加速度均為零。

除桿1固定外,四連桿中應有一桿為主動桿,由該桿輸入運動力源使整組四連桿可以活動。以本例而言,桿2為曲柄,故動力應由此桿傳入,其餘兩桿(桿3與桿4)均為被動桿。在應用上,桿2與桿3均可被選為輸入桿,並以桿4輸出。

在本例中,r1、r2、 r3、 r4及θ1均為定值,θ2為輸入,其餘θ3、θ4均為輸出。且因而分析中之r'、r"等項亦應為零。

6-1.1情況一:曲桿為主動桿,θ2為輸入


改寫公式(6.2),得:


r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2
r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2 (6.3)


兩邊平方相加,消去θ3:

r3²=r1²+r2²+r4²+2r1r4(cosθ1cosθ4+sinθ1sinθ4)
-2r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)
-2r1r4(cosθ2cosθ4+sinθ2sinθ4) (6.4)


消去θ3之後其變數僅剩θ4,其係數雖多,但可以改寫成下面的型式:

A cosθ4+B sinθ4 + C=0     (6.5)

其對應之係數ABC表示如下:

A=2r1r4cosθ1-2r2r4cosθ2
B=2r1r4sinθ1-2r2r4sinθ2
C=r1²+r2²+r4²-r3²-2r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2) (6.6)


為求得 A cosθ4+B sinθ4 + C=0 之解θ4,通常利用半角公式,令

β=tan(θ4/2)

代入三角函數:

sinθ4 = 2tan(θ4/2)/[1+tan²(θ4/2) = 2β/[1+β²]
cosθ4 = [1-tan²(θ4/2)/[1+tan²(θ4/2)
= [1-β²]/[1+β²] (6.7)


將此二式代入基本公式(6.5),則

A{[1-β²]/[1+β²]} +B{2β/[1+β²]} + C = 0


展開之,得:

 A(1-β²)+2Bβ+C(1+β²)=0

(C-A)β²+2Bβ+ (A+C)=0 (6.8)

解此二次方程式,得

β=[-B ± (B²-C²+A²)1/2]/(C-A)     (6.9)

此處β應有二根,代表兩個位置解,有時稱為兩個模式。至於採取正值或負值,則應依實際之情況加以判斷。

獲得β值之後,即可求由β=tan(θ4/2) 求得θ4,亦即:

θ4 = 2tan-1β         (6.10)

由於-π/2≤tan-1β≤π/2,故 -π≤θ4≤π。
值得注意的是,B²- C²+A²≥0,亦即B²+A²≥ C²才能獲得實數的根,若無法達滿足這個條件,表示所給的桿長無法構成四連桿。因此這一個不等式可作為測試四連桿是否成立的一個準則。

有了θ4之後,仍需要求θ3,此時可以回到原來之閉合方程式(6.3),先行移項,得:

r3sinθ3= r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2
r3cosθ3= r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2 (6.11)

兩式左右相除,可得:

tanθ3=[r1sinθ1+r4sinθ4-r2sinθ2]/[r1cosθ1+r4cosθ4-r2cosθ2]


由原來公式(6.3)亦可改寫如下:

r4sinθ4=r3sinθ3+r2sinθ2-r1sinθ1
r4cosθ4=r3cosθ3+r2cosθ2-r1cosθ1 (6.12)

如此亦可先消去θ4,解θ3,然後重複前面的程序,再解θ4。這種技巧,在後面的速度及加速度分析上均可運用。因為有些情況利用前一方式可能產生無解,反而可以利用後一方程式得到所需要的解,其結果亦相同。

6-1.2情況二:聯結桿為主動桿,θ3為輸入


上面之分析結果均以第二桿為主動,輸出為第四或第三桿。但在應用上,若第三桿為主動桿,而第二與第四為輸出桿時,其情況將會不同。而這種情況在傳統之圖解法更不容易求得其解。但利用數值法,則仍可根據公式(6.1)稍作改變,再加以分析,即:

r2sinθ2=r1sinθ1+r4sinθ4-r3sinθ3
r2cosθ2=r1cosθ1+r4cosθ4-r3cosθ3 (6.13)

與公式(6.3)比較,兩式之格式完全相同,僅在2與3之位置掉換而已。故在分析上,所用之解法應相同。在f4bar()這個函數當中,有設一個driver的控制參數,作為區分驅動桿,然後應用相同的程式解法。這項技術亦應用於上項之程式中。

有了上述之θ1、θ2、θ3及θ4之後,配合各桿之長度即可求得點P、Q、R等之位置向量:

Rq=r2ejθ2=r2(cosθ2+jsinθ2) (6.14)
Rp=r2ejθ2+r3ejθ3
=r2(cosθ2+jsinθ2)+r3(cosθ3+jsinθ3) (6.15)

或者

Rp=r1ejθ1+r4ejθ4
=r1(cosθ1+jsinθ1)+r4(cosθ4+jsinθ4) (6.16)
Rr=r4ejθ4=r4(cosθ4+jsinθ4) (6.17)