第三章 座標應用與分析

3.1複數之應用

在機動學之分析過程，複數亦可作為向量分析之方法，其形式類似極座標。向量表示法對照如下：

極座標	垂直座標
R@∠θ	Rcosθi+Rsinθj
Rejθ	Rcosθi+Rsinθj

無論垂直座標或極座標，其絕對值均是以其某一個單位向量作為量度之基準。而在複數型式中，虛數用j表示(在matlab中i與j同義)。但此處j僅是一個代表虛數之操作元，表示其後的數值係屬於虛數軸上；在直角座標中亦相等於其Y軸。這個j的操作元在MATLAB中也有其特殊的意義。任何實數R與j相乘後，會在複數平面上反時針旋轉90度，即進入虛數的世界，或為Rj，但若將結果再與j相乘，則又會再旋轉90度，回到實數軸，但是已到負的方向，即Rj²= –R，這是因為j的平方等於-1的原故。故若該數再與j相乘，即Rj³= –Rj，則又回到負的虛數世界中了。

圖1.2 複數j的變化關係

複數通常可用下列型式表示：

Z = x + jy
Z = x + iy

其中x稱為實數部，y稱為虛數部分，虛數部可用i或j代替。在MATLAB中有兩種表示法：

>> z=4+5j
z =   4.0000 + 5.0000i
>> z=4+5i
z =   4.0000 + 5.0000i

若其中之５的位置若為變數，則不能直接在數字後加i或j，必須在兩者間加一乘號，如下所述：

>> b=5
b =     5
>> z=4+bi
??? Undefined function or variable 'bi'.
>> z=4+b*i
z =　   4.0000 + 5.0000i

因此上述型式中之實數與虛數部份均可用變數取代。若採用函數型式，複數亦可用complex(4,5)表示，如：

>> complex(4,5)
ans =   4.0000 + 5.0000i

其意義因此與前面之應用一樣。由於實數軸與虛數軸可以分為x 軸與y軸，故複數亦可作為表示平面座標點之方式，其與極座標之關係如下：

x = rcosθ
y = rsinθ

則複數可以應用下式表示：

Z=x+jy =rcosθ+jrsinθ

1-2.2尤拉(Euler)公式

尤拉公式為指數與複數間之轉換關係：

　　ejθ=cosθ+jsinθ

在直角座標系中，θ為任意一通過原點之向量r與x軸間之夾角。若將複數中之實數部份作為x軸上之分量，虛數部份作為y軸之分量，則兩分向量相互垂直，成為一組表示特定向量之方式。在尤拉式係使用自然對數為底，以jθ為指數，其關係與直角座標正好可以作轉換。
為使θ之角度旋轉符合極座標之不同方位，尤拉(Euler)公式可以作歸納成通式如下：

e±jθ=cosθ±jsinθ
                           ------(1.4)

故如圖1.2中在四個象限中相互垂直(或間隔90度)之單位向量之關係為：

ej(θ+π/2)=cos(θ+π/2)+jsin(θ+π/2)
     =-sinθ+jcosθ
     =j(cosθ+jsinθ)=jejθ-------(1.5)

ej(θ+π)=cos(θ+π)+jsin(θ+π)
     =-sinθ-jcosθ
     =-(cosθ+jsinθ)=-ejθ
     =j²ejθ---------------------(1.6)

ej(θ+π3/2)=cos(θ+π3/2)+jsin(θ+π3/2)
     =sinθ-jcosθ
     =-j(cosθ+jsinθ)=-jejθ
     =j3ejθ  -------------------(1.7)

例：設θ=30度，試利用尤拉公式證明其轉換值相同，並計算每相隔90度之對應複數值。

>> theta=30*pi/180 %轉換為弧度
theta =
     0.5236
>> A=exp(j*theta) %求得左邊之對應複數值
A =
   0.86603 +        0.5i
>> a=cos(theta)+j*sin(theta) %求得右邊對應值，與前述相同
a =
   0.86603 +        0.5i
>> angle=theta:pi/2:2*pi %設定區間為90度之角度值
angle =
     0.5236       2.0944       3.6652        5.236

>> M=exp(j*angle') %對應之複數值
M =
   0.86603 +        0.5i
      -0.5 +    0.86603i
  -0.86603 -        0.5i
       0.5 -    0.86603i