1/24/07

第三章 座標應用與分析

3.1複數之應用



在機動學之分析過程,複數亦可作為向量分析之方法,其形式類似極座標。向量表示法對照如下:




極座標垂直座標
R@∠θRcosθi+Rsinθj
ReRcosθi+Rsinθj


無論垂直座標或極座標,其絕對值均是以其某一個單位向量作為量度之基準。而在複數型式中,虛數用j表示(在matlab中i與j同義)。但此處j僅是一個代表虛數之操作元,表示其後的數值係屬於虛數軸上;在直角座標中亦相等於其Y軸。這個j的操作元在MATLAB中也有其特殊的意義。任何實數R與j相乘後,會在複數平面上反時針旋轉90度,即進入虛數的世界,或為Rj,但若將結果再與j相乘,則又會再旋轉90度,回到實數軸,但是已到負的方向,即Rj²= –R,這是因為j的平方等於-1的原故。故若該數再與j相乘,即Rj3= –Rj,則又回到負的虛數世界中了。





複數通常可用下列型式表示:

Z = x + jy
Z = x + iy

其中x稱為實數部,y稱為虛數部分,虛數部可用i或j代替。在MATLAB中有兩種表示法:

>> z=4+5j
z = 4.0000 + 5.0000i
>> z=4+5i
z = 4.0000 + 5.0000i

若其中之5的位置若為變數,則不能直接在數字後加i或j,必須在兩者間加一乘號,如下所述:

>> b=5
b = 5
>> z=4+bi
??? Undefined function or variable 'bi'.
>> z=4+b*i
z =  4.0000 + 5.0000i

因此上述型式中之實數與虛數部份均可用變數取代。若採用函數型式,複數亦可用complex(4,5)表示,如:

>> complex(4,5)
ans = 4.0000 + 5.0000i

其意義因此與前面之應用一樣。由於實數軸與虛數軸可以分為x 軸與y軸,故複數亦可作為表示平面座標點之方式,其與極座標之關係如下:

x = rcosθ
y = rsinθ

則複數可以應用下式表示:

Z=x+jy =rcosθ+jrsinθ


1-2.2尤拉(Euler)公式


尤拉公式為指數與複數間之轉換關係:

  e=cosθ+jsinθ


在直角座標系中,θ為任意一通過原點之向量r與x軸間之夾角。若將複數中之實數部份作為x軸上之分量,虛數部份作為y軸之分量,則兩分向量相互垂直,成為一組表示特定向量之方式。在尤拉式係使用自然對數為底,以jθ為指數,其關係與直角座標正好可以作轉換。
為使θ之角度旋轉符合極座標之不同方位,尤拉(Euler)公式可以作歸納成通式如下:

e±jθ=cosθ±jsinθ
------(1.4)


故如圖1.2中在四個象限中相互垂直(或間隔90度)之單位向量之關係為:

ej(θ+π/2)=cos(θ+π/2)+jsin(θ+π/2)
=-sinθ+jcosθ
=j(cosθ+jsinθ)=je-------(1.5)

ej(θ+π)=cos(θ+π)+jsin(θ+π)
=-sinθ-jcosθ
=-(cosθ+jsinθ)=-e
=j²e---------------------(1.6)

ej(θ+π3/2)=cos(θ+π3/2)+jsin(θ+π3/2)
=sinθ-jcosθ
=-j(cosθ+jsinθ)=-je
=j3e -------------------(1.7)

例:設θ=30度,試利用尤拉公式證明其轉換值相同,並計算每相隔90度之對應複數值。

>> theta=30*pi/180 %轉換為弧度
theta =
0.5236
>> A=exp(j*theta) %求得左邊之對應複數值
A =
0.86603 + 0.5i
>> a=cos(theta)+j*sin(theta) %求得右邊對應值,與前述相同
a =
0.86603 + 0.5i
>> angle=theta:pi/2:2*pi %設定區間為90度之角度值
angle =
0.5236 2.0944 3.6652 5.236

>> M=exp(j*angle') %對應之複數值
M =
0.86603 + 0.5i
-0.5 + 0.86603i
-0.86603 - 0.5i
0.5 - 0.86603i