9-1.3滾動錐角之計算
9-1.3.1外接錐之錐角比
就圖9.5所示，滾動接觸點應沿著OP線，令其頂點為O。則兩錐角之和與合錐角之關係如下：
Σ=γ2+γ3 9.6
各錐與錐角之函數關係為：
sinγ2 = AP/OP ； sinγ3 =BP/OP 9.7 sinγ2/sinγ3= AP/BP =ω3 /ω2 = sin (Σ-γ3)/sinγ3 9.8
改寫上式，得：
[sinΣ cosγ3 - cosΣ sinγ3 ]/ sinγ3=ω3 /ω2 9.9
左邊分子分母各除以cosγ3可以解tanγ3，得到
tanγ3= sinΣ / [ω3 /ω2 + cosΣ] 9.10
公式9.10可用電腦程式計算，亦可利用圖解法。例如要作一轉速比ω2 ：ω3 = 5：3比例之圓錐，設合錐角Σ為60度，其MATLAB之程式如下：
function [gama1,gama2]=bevel_angle(omega,sigma,mode) % % Demo9.1: % [gama1,gama2]=bevel_angle(omega,sigma,mode) % mode:1 for outer set; -1 for innner set % sigma: combined angle, degrees % omega: angular velocity ratio=w1/w2, decimal % gama1: cone angle for gear 1, degrees % gama2: cone angle for gear 2, degrees % Examples:[gama1,gama2]=bevel_angle([1 2 3 4 5],45,1) d2g=pi/180; sa=sigma*d2g; gama1=atan(sin(sa)./(omega+mode*cos(sa)))/d2g; gama2=sigma-mode*gama1;
-------------------------------------------
執行例一：ω1 /ω2 =5/3；Σ=60；
>> [gama1,gama2]=bevel_angle(5/3,[60],1) gama1 = 21.7868 gama2 = 38.2132
執行例二：ω1 /ω2 =5/3；Σ=[60 50 40 30]；
>> [gama1,gama2]=bevel_angle(5/3,[60 50 40 30],1) gama1 = 21.7868 18.3506 14.8008 11.1676 gama2 = 38.2132 31.6494 25.1992 18.8324
9-1.3.2內接錐之錐角比
若兩錐組合一為內輪γ2，外輪γ3，則上述公式更改如下：
tanγ3= sinΣ / [ω3 /ω2 - cosΣ] 9.10
利用電腦程式執行如下：
執行例三：ω1 /ω2 =7/3；Σ=[ 30]；內接錐
>> [gama1,gama2]=bevel_angle(7/3,[30],-1) gama1 = 18.8171 gama2 = 48.8171
執行例三：ω1 /ω2 =[7/3 5/3 4/3]7/3；Σ=[ 30]；內接錐
>> >> [gama1,gama2]=bevel_angle([7/3 5/3 4/3],[30],-1) gama1 = 18.8171 31.9848 46.9357 gama2 = 48.8171 61.9848 76.9357
9-7.2齒輪之接觸比
齒輪作用之另一重要特性為接觸比(Contact ratio)，亦即在同一時間內有多少對牙齒同時相互嚙合。其對數愈多，表示各對牙齒所承受的負荷較輕，力量之傳遞也愈為均勻；對數愈少，齒牙負荷相對愈重，若接觸比小於1，即表示在某些時候可能沒有齒牙配對，則這兩對齒輪在力的傳遞上就會發生不均勻的問題。一般之接觸比應不小於1.2，亦即80%的時間是兩對牙齒共同協力作業，而約有20%的時間，僅有一對負責傳遞的工作。
長度之計算
圖9.24中之兩齒輪顯示其喫合在兩個位置，一為接觸開始時，一為離開時。在這兩點間，接觸點沿著壓力作用線MN方向移動，發生接觸係自A開始，是為壓力線與齒輪2之齒冠交點；離開點B則為壓力線與齒輪3之齒冠交點。F與G點為齒輪2之齒形在接近點A與離開點B時與節圓相交的兩點；同理，D與E為齒輪3在其節圓之對應點。由於兩節圓相互滾動接觸，故此兩點構成的弧長應相等。
圖9.24 兩齒輪之接觸長度兩齒輪之接觸路徑應等於基圓切線上之線段AB，設兩對齒輪之齒冠均為a，則其長度為LAB：
接觸比之計算
接觸比mc應為接觸路徑長度與基周節之比，其公式如下：
作用角
對齒輪2與3 而言(圖9.24)，其節圓上之作用弧(Arcs of action)為FPG及DPE，其對應角θ2與θ3，稱為作用角。作用角由接近角與退遠角組成，接近角(Angle of approach)則為兩齒輪接觸之點開始至節點間之夾角，分別α2與α3其對應弧分別為弧FP與DP，而其角度應以切線MN上之對應線段FP與DP與其基圓周節相除得之(圖9.25)：
圖9.25退遠角(Angle of recess)則是齒輪自節點開始至離開不接觸時之角度，或β2與β3，對應線段則為PG與PE。同理可表示如下：
通常接近角與遠退角不相等。作用角則為上述兩角之和，如公式(9-31)及(9.32)
9-7.2.4 MATLAB程式
上式9.25可以用MATLAB函式contact_ratio()計算，此函式之輸入值為徑節、兩齒輪之齒數及壓力角，輸出項包括公式9.26至公式9.32所計算之結果。其中之參數ag則為列矩陣，依序儲存兩齒輪之接近角、退遠角與作用角。其呼叫格式如下：
function [c_ratio, c_length, ad, pc, pb, d2, d3, ag] = contact_ratio(pd, n2,n3, phi)
其中輸入參數：
Pd：徑節
n2, n3：兩齒輪之齒數
phi：壓力角
輸出參數：
cr_ratio：接觸比
cr_length：接觸長度
ad：齒冠
pc, pb：周節及基周節
d2, d3：兩齒輪節圓直徑。
ag：兩齒輪之接近角、遠退角及作用角 =
function [c_ratio,c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(pd,n2,n3, phi) % %Find the contact ratios % Inputs: % Pd: Diametrial pitch; % n2,n4:number of both gears; % phi: pressure angle, degrees % Outputs: % c_ratio, c_length: contact ratio and length % ad:addendium % pc,pb: circular and basic circular pitches % r2, r3: radii of pitch circles % ag: angles of action, in matrix of % [alpha2 beta2 theta2 alpha3 beta3 theta3] % Example: [c_r,c_l,ad,pc,pb,d2,d3,ag] % =contact_ratio(6,24,48,20) % Revised: March 9, 2006 d2g=pi/180; pangle=phi*d2g; cosx=cos(pangle);sinx=sin(pangle); ad=1./pd;pc=pi./pd; pb=pc.*cosx; r2=n2./(2*pd);r3=n3./(2*pd);d2=2*r2;d3=2*r3; rb2=r2.*cosx;rb3=r3.*cosx; ax=sqrt((r3+ad).^2-(r3.*cosx).^2)-r3.*sinx; xb=sqrt((r2+ad).^2-(r2.*cosx).^2)-r2.*sinx; c_length=ax+xb; c_ratio=c_length./pb; ag1=[ax./rb2 xb./rb2 c_length./rb2]/d2g; ag2=[ax./rb3 xb./rb3 c_length./rb3]/d2g; ag=[ag1;ag2];
執行例一：
某對齒輪之周節為4，分別有24及48齒，其壓力角為20度，求其接觸比及相關資料。
>> [c_ratio, c_length,ad,pc,pb,r2,r3,ag]=contact_ratio(4,20,30,20) c_ratio = 1.6052 c_length = 1.1847 ad = 0.2500 pc = 0.7854 pb = 0.7380 r2 = 5 r3 = 7.5000 ag =14.8816 14.0115 28.8932 9.9211 9.3410 19.2621
所得之資訊如下：
接觸比=1.6052
接觸長度=1.1847 吋
齒冠=0.25吋
周節pc=0.7854；基周節pb=0.7380
齒輪節圓直徑r2=5吋, r3=7.5吋
齒輪2之接近角=14.8816度；遠退角=14.0115度
作用角=28.8932度
齒輪3之接近角=9.921度；遠退角=9.3410度
作用角=19.2621度
執行例二：
某對齒輪之周節為5，分別有20及30齒，其壓力角為20及25度，求其接觸比及相關資料。
>> [c_ratio, c_length,ad,pc,pb,d2,d3,ag]=contact_ratio(5,20,30,[20 25]') c_ratio = 1.6052 1.4419 c_length = 0.9477 0.8211 ad = 0.2000 pc = 0.6283 pb = 0.5904 0.5694 d2 = 4 d3 = 6 ag = 14.8816 14.0115 28.8932 13.2629 12.6921 25.9550 9.9211 9.3410 19.2621 8.8419 8.4614 17.3033
指令中，壓力角之輸入以行型式輸入(即[20 25]' )，其結果亦以行之型式對應出現。其他變數亦可如此作對照。這種比較不限1X2行矩陣，也不限於僅使用於一個輸入變數，但需同大小之矩陣。若不需要後面之輸出項，則僅提及前面所需之項目即可。讀者可自行印證不同變數矩陣之應用，若使用矩陣輸入，以採用行向量型式為宜。
9-7.3齒厚之計算
為分析齒輪承受應力及其應變，需能計算齒輪在任何半徑下之齒厚。以圖9.26為例，某一齒牙之漸開線上，過節圓點P，令P對基圓作切點N，基於漸開線之繪製原理，知弧線BN應等於線段MP，故
圖9.26 漸開線函數之形成9-7.3.1漸開線MATLAB函數
漸開函數可以查表或由計算程式中得知，而計算齒厚時，可以利用這一個漸開函數計算。用MATLAB之ainv()函式可以得到相對的答案，其呼叫格式如下：
function [epsilon, epsrad]=ainv(z)
其中，z為漸開函數值，得到之對應角度Φ為epsilon, epsrad，分別以度數及弧度表示。
function [epsilon, epsrad]=ainv(z) % Find the inv funtion of involute angle. % Using Secant's method. % Input: z:(<2.2) % outputs:epsrad, angle in radians % epsilon: angle in degrees. e1=0.63166;z1=0.1; e2=0.97502;z2=0.5; ok=0; while ~ok e0=(z-z1)/(z2-z1)*(e2-e1)+e1; z0=tan(e0)-e0; if abs(z0-z)<1e-6; break; else if z0>z2 z2=z0;e2=e0; else z1=z0;e1=e0; end end if abs(z2-z1)<1e-6; break; end end epsrad=e0; epsilon=epsrad*180/pi;
執行例：
>> [ep,eprad]=ainv(0.1) ep = 36.191 eprad= 0.63166 >> [ep,eprad]=ainv(1) ep= 64.874 eprad = 1.1323
範例9.14
試以Pd、N及壓力角為輸入，寫一MATLAB程式，計算齒冠圓、節圓及基圓處之齒厚，並求齒尖端處之半徑。
function [r,thickness,beta]=tooth_thick(N,Pd,phi0) % % Find the thickness of a tooth in a gear % Inputs: N, number of teeth; Pd: diametrical pitch; % phi0, pressure angle, in degrees % Output: r, radii of base, pitch, addendum and point circles % thickness: row matrix of 4 elements as above. % beta: row matrix of 4 beta angles as above. d2g=pi/180; phi=phi0*d2g; rp=N/Pd/2; ra=rp+1/Pd; cosx=cos(phi); rb=rp*cosx; tp=pi/Pd/2; betaa=acos(rp*cosx/ra); betap=phi; betab=0; ta=2*ra*(tp/rp/2+invx(phi)-invx(betaa)); tb=2*rb*(tp/rp/2+invx(phi)); [a,beta0]=ainv(tp/rp/2+invx(phi)); r=[rb rp ra rb/cos(beta0)]; thickness=[tb tp ta 0]; beta=[betab betap betaa beta0]/d2g; function a=invx(x); a=tan(x)-x;
執行例：
>> [r,thickness,beta]=tooth_thick(30,4,20) r = 3.5238 3.75 4 4.1612 thickness = 0.47406 0.3927 0.18435 0 beta = 0 20 28.241 32.132
範例9.15
一標準全齒正齒輪以壓力角20度進行加工，其徑節為6，若在半徑2.1吋處之齒厚為0.1860吋，求其在基圓及節圓處之齒厚。
[解]
由表9.2之周齒厚為
若就問題9.15撰寫一MATLAB函式，輸入值為r, t, Pd及 phi，輸出為N, rp, rb, tb等。其內容如下:
[解]
function [rb, tb, rp,beta, N]=find_thick(r,t,Pd,phi0) % %Find the thickness of tooth at base circle %Inputs: r, t: thickness t at a radius r % Pd,phi0: dia pitch and pressure angle in deg. %Outputs: rb, tb: thickness tb at base circle rb % rp, beta,N: radius,beta and No. of teeth for the pitch circle d2g=pi/180; phi=phi0*d2g; cosx=cos(phi); mm=pi*cosx/4/Pd/r; kk=invx(phi)-t/2/r; x1=phi;x2=phi/2; f1=funcx(x1,mm,kk); f2=funcx(x2,mm,kk); ok=0; while ~ok, x=x1-f1*(x2-x1)/(f2-f1); f=funcx(x,mm,kk); if abs(f)<1e-5, ok=1; end x2=x1;f2=f1;f1=f;x1=x; if f1==f2, ok=1; end end beta=x/d2g; N=2*Pd*r*cos(x)/cosx; rp=N/Pd/2; rb=rp*cosx; tb=2*rb*(pi/N/2+invx(phi)); function [f]=funcx(beta,mm,kk) f=mm/cos(beta)+kk-invx(beta); function a=invx(x) a=tan(x)-x;
執行例：
>> [rb, tb, rp,beta, N]=find_thick(2.1,0.186,6,20)
rb = 1.8794
tb = 0.30203
rp = 2
beta = 26.5
N = 24
範例9.17
一小齒輪與齒條機構中，令小齒輪之壓力角為20度，試求小齒輪與齒條運轉時不產生干涉之最小齒數為若干?
[解]
依據公式9.50
N = 2k/sin²ψ=2(1)/sin²(20) = 17.097~18T
故最低不干涉之齒數為18T
就上述之計算結果，試撰寫一MATLAB函式程式，計算參考書中表9.1中標準正齒輪系與一齒列產生干涉現象之最低齒數。
[解]
function [minT, value]=min_teeth(phi,k) % % Find the minimum teeth to avoid undercutting for standard gears % phi: pressure angle, in degrees % minT, value: Min. teeth and calculated value for the gear % k: coefficient(1 or 0.8) if nargin<2 k=1; end d2g=pi/180; sinx=sin(phi*d2g); value=2*k./(sinx.*sinx); minT=ceil(value);
執行例
>> [minT, value]=min_teeth([14.5 20 25 20],[1 1 1 0.8]) minT = 32 18 12 14 value = 31.903 17.097 11.198 13.678
其結果如參考書中之表9.1所示之數值。
範例9.19
有一對齒輪組，其壓力角為20o，兩輪之齒數分別為10T與30T，試問是否會產生干涉現象?
[解]
根據公式9.47，測試干涉之條件為：
(N2²+2N2 x N3)sin²>= 4 + 4N3
設N2=10T，N3=30T，Φ=20o 則
10(10+2*30)*sin²(20o)<4(1+30)
故會產生干涉。
範例9.20
設一組標準齒輪，壓力角為phi，齒數分別為N1、N2，試撰寫一MATLAB之程式，測試其是否發生干涉。
[解]
程式如下：
function [x]=isinterf(phi,N1,N2) % % Test if the gear set exists an interference % phi:pressure angle, in degrees % N1,N2:teeth of both gears % x=0:no interference; x=1 interence exists x=0; sinx=sin(phi*pi/180); if N2<N1,nn=N1;N1=N2;N2=nn;end if N1*(N1+2*N2)*sinx*sinx<4*(1+N2), x=1;end
執行例：
>> isinterf(20,20,30) ans = 0 >> isinterf(20,12,30) ans = 1
範例9.21
一組標準齒輪其徑節為2，壓力角為14.5度，齒數分別為14T與16T。檢查是否會產生干涉?若發生干涉，則重新計算不產生干涉之齒冠高度及新的接觸比。
[解]
設小齒輪14T為齒輪2，16T為齒輪3。根據不干涉之條件為公式9.47之標準，即
(N2²+2N2 x N3)sin²>= 4 + 4N3
代入相關值，即
[14² + 2(14)(16)sin²(14.5)< 4 + 4(16)
或利用函式檢測：
>> isinterf(14.5,14,16) ans = 1
顯然，此組齒輪有干涉現象。
不產生干涉之兩齒冠高度可利用公式9.44與9.48計算，令其為等式：
撰寫成程式如下：
function [a,r,AP,BP,length,mc]=addendum_cut(phi0,N1,N2,Pd) % % Find the shortening of addendum to avoid interferences % Inputs: phi0:pressure angle, in deg.; N1,N2:No. of teeth % Pd:dia. pitch, or module in (1/Pd) % outputs: a:row matrix for addendums [a1,a2,a1',a2',delta1,delta2] % AP,BP,length: contact length in portions and whole % mc: contact ratio phi=phi0*pi/180; cosx=cos(phi); sinx=sin(phi); rp1=N1/Pd/2;rp2=N2/Pd/2; r=[rp1 rp2]; a1=1/Pd;a2=a1; aa1=sqrt((rp2*sinx+rp1*sinx)^2+(rp1*cosx)^2)-rp1; if aa1>a1, aa1=a1; BP=sqrt((rp1+a1)^2-(rp1*cosx)^2)-rp1*sinx; else BP=rp2*sinx; end aa2=sqrt((rp1*sinx+rp2*sinx)^2+(rp2*cosx)^2)-rp2; if aa2>a2, aa2=a2; AP=sqrt((rp2+a2)^2-(rp2*cosx)^2)-rp2*sinx; else AP=rp1*sinx; end a=[a1 a2 aa1 aa2 a1-aa1 a2-aa2]; length=AP+BP; mc=length*Pd/pi/cosx;
執行例：
>> [a,r,AP,BP,length,mc]=addendum_cut(14.5,14,16,2) a = 0.5 0.5 0.37406 0.30387 0.12594 0.19613 r = 3.5 4 AP = 0.87633 BP = 1.0015 length = 1.8779 mc = 1.2348
齒列之外形
單齒之外形
整個齒輪之齒形
齒列與齒輪的互動