有些物件在運動過程中因而必須有約束力，這些約束力約會減少物件的自由度，或稱為拘束度。不過一個元件除了當固定桿外，其自由度不能為零，否則就無動產生運動。機構並不僅由一元件組成，通常由許多元件互相一運動結連繫而成。這一連繫就會使元件之運動受到約束，其自由度也會減少。機構之自由度減到為零時，表示這個機構變成靜物，不再有運動現象。這也是屬於一般靜力的範圍了。
一個機構，例如四連桿，由四個連桿元件及四個運動結組成。照前面所言，在二維的機構中，每一連桿應有三個自由度，四個連桿應有十二個自由度。但事實上可能這麼多嗎？讓我們來算它一算。由於成為機構之條件是要有一桿為固定，故要減去三個自由度；四個運動結對連桿而言目的在拘束連桿之運動，若每一個運動結若均為旋轉結，則每接一個結僅能傳遞一個自由度，亦即需減去二個拘束度，因此四個結必須減去八個拘束度。剛剛說，四連桿總共十二個自由度，減去三個再減去八個，僅剩一個自由度。所以四連桿僅能傳遞一個輸入變數。
上述之四連桿有一個自由度，為與一般元件的自由度判別，機構的自由度統稱為可動度，因為它是指向一個機構到底可以不可以動起來。若可動度為零，則屬靜態結構；若為負值則表示為靜不定結構，都是不可動的機構。
計算一個機構的可動度，通常可用古魯伯公式，下節將詳加介紹。
4.1古魯伯公式
古魯伯公式主要是根據下列計算公式演繹而來，可以計算一個機構之可動度Ｍ。可動度大於或等於一，才能成為可運動的機構，小於一時則變成結構。就計算的過程而言，一個機構之可動度應為其總自由度扣除總拘束度，其計算法則又稱為古魯伯(Grueber)公式，其規則如下：
M = 3*(N-1)-(3J-Σf)
= 3*(N-J-1)+Σf
式中，
M = 可動度，即系統之自由度
N = 連桿之總數
J = 運動結之總數
= 第i運動結之連結度
程式設計
程式gruebler是針對上式公式設計的一個函數。其主要功能在於先找出結的型式與數目。在本程式中係用利用jointype來達成。jointype是採用陣列的方式，依序安排節的位置與數量，其順序依序為：
- 1 R型結
- 2 滑動結
- 3 複式結
- 4 球結
- 5 圓筒結
- 6 平面結
- 7 滾筒結
- 8 凸輪
- 9 螺旋結
- 10 球滑結
- 11 點觸結
例如：jointype=[3 1]，即表示有三個Ｒ型結，一個滑動結。另一個輸入參數為nlink，即為連桿之總數。jointype的安排上最大的缺點是若中間沒有該結時，必須留空，或在該位置填以零值。例如：一個Ｒ型結及三個球結，則jointype=[1 0 0 4]。
不過比較特別是，在jointype中若包括第四項以上時，這些結均為三維空間的結。故程式會以此作為判斷gruebler公式是計算二維或三維空間之桿結問題。因此，若一個三維空間的結，不含第四項球結以後的各項時，則至少在第四項必須以０表示，例如：jointype=[3 1 0 0]，表示一組三維空間之連桿組，但具有三個Ｒ型結及一個滑動結。
在程式中，為求得對應於jointype中對應結之各結自由度，則利用code作為對應值，故每次必須選擇對應結之自由度。
程式內容
程式開始時，先決定jointype陣列之長度，除確定其維度外，同時作為計算各結自由度之基礎。利用njoint確定總結數，ff累計Σf之值，最後得到答案。
function [df]=gruebler(nlink,jointype)
%
% [df]=gruebler(nlink,jointype)
% nlink:no. of total links
% jointype:row matrix for number of joints for each type,
% the order of elements is:
% 1 R-joint 2 slider 3 compound joint(sliding & rolling)
% 4 ball 5 cylinder 6 planar 7 cylinder rolling
% 8 cam 9 helix 10 ball & 11 point contact
% Example: df=gruebler(4,[4])
% Author:D.S.Fon Bime,NTU. Date:Jan. 30, 2007
code=[1 1 2 3 2 3 1 2 1 3 5];
n=length(jointype);
dim=3;if n>3, dim=6;end;
ff=0;njoint=0;
for i=1:n,
njoint=njoint+jointype(i);
ff=ff+jointype(i)*code(i);
end;
df=dim*(nlink-njoint-1)+ff;
%-------------------
應用方法
其呼叫方式為：
[df]=gruebler(nlink,jointype)
其中之參數內容如下：
nlink：總桿數。
Jointype：行矩陣，代表屬於表3.1中所列各種型結之數目，其中各元素之內容為：
1 旋轉結(R) 2 滑動結(P) 3 複式結(滑動與轉動) (S) 4 球結(B) 5 圓筒結(C)
6 平面結(PL) 7 圓柱滾動(CR) 8 凸輪接觸(CP) 9 螺旋結(H)
10 球結(滾動與滑動)(BR) 11 點接觸結(SP)。
若以各元素代號表示即為
Jointtype=[R P S B C PL CR CP H BR SP]
其中各代號之位置為該結之結數。中間沒有該結時，以零填之。例如：
jointype=[2 0 1 0 1]
表示有兩個旋轉結，一個複式結，一個圓筒結。
例如：jointype=[2 0 1 0 1]，表示有兩個旋轉結，一個複式結，一個圓筒結。
範例一
決定一組四連桿之可動度:N=4, R=4
>> df=gruebler(4,[4])
df = 1
範例二
三度空間連桿組具五連桿但有三個旋轉結(Ｒ型結)及三個球結。
>> df=gruebler(5,[3 0 0 3])
df = 0
範例三
但是同樣的四連桿若，若為三維，則完全沒有自由度，例如：
>> df=gruebler(4,[4 0 0 0])
df = -2
顯然，例一之平面四連桿僅是三維中之一特例。
gruebler函數之撰寫只是簡單的matlab程式之應用，但其輸入參數中使用的jointype比較複雜，你能想出更好的處理方法嗎？
圖4.15 執行four_link2(0:10:360,[4 2 4.2 2.6],1)之結果
