2/6/07

7.2 滑塊速度及加速度分析

速度分析


圖7.1 滑塊為元件之四連桿(續)

本題目中,由於參數r2、 r3、 r4、θ1、θ4等均應為定數,且為已知,故在速度部份這些相關項目ω1、ω4、r4'等均應為零,問題因此可以簡化。茲就相對應速度之變化量以點P而言,可為:

rp' = r2' + r3' = r1' (7.16)

改以複數表示,方程式如下:

jr2ω2ejθ2+jr3ω3ejθ3= r1'ejθ1            (7.17)

jr2ω2(cosθ2 +jsinθ2)+jr3ω3 (cosθ3 +jsinθ3)
= r1'(cosθ1+jsinθ1) (7.18)

將實數與虛數部份分開,得閉合方程式:

- r2ω2 sinθ2-r3ω3 sinθ3 = r1' cosθ1
r2ω2 cosθ2 + r3ω3 cosθ3 = r1' sinθ1 (7.19)

解上述閉合方程式時,其參數包括r1'、ω2及ω3項。茲就三項中已知一項進行討論,求解另二項變數時,可以分析如下:

(一)若r1'為輸入項


則其矩陣之型式為:

[- r2 sinθ2 - r3 sinθ3] [ω2] = [r1'cosθ1]
[ r2 cosθ2   r3 cosθ3] [ω3] [r1'sinθ1] (7.20)

(二)若為ω2輸入項


求r1'及ω3之矩陣如下:

[cosθ1 - r3 sinθ3] [r1'] = [- r2 sinθ2]
[sinθ1 r3 cosθ3] [ω3 ] [ r2 cosθ2] (7.21)

(三)若為項ω3輸入項


求r1'及ω2之矩陣則如下列型式:


[cosθ1 - r2 sinθ2] [r1'] = [-r3 sinθ3 ]
[sinθ1 r2 cosθ2 ] [ω2 ] = [r3 cosθ3 ] (7.22)

由第二項第三項之矩陣內容,可以找到其相關的對應變化,這對以程式解題時相當有幫助。

至於其點Q與P 之速度則可由下式獲得:

Vq =[r2' + j r2ω2]ejθ2=j r2ω2 (cosθ2 + j sinθ2) (7.23)
Vp =[r2' + j r2ω2]ejθ2+[r3'+jr3ω3]ejθ3
=jr2ω2(cosθ2 +jsinθ2)+jr3ω3(cosθ3+jsinθ3) (7.24)

或者

Vp = [r1'+jr1ω1]ejθ1+[r4'+jr4ω4] ejθ4
= r1'(cosθ4 +jsinθ4) (7.25)

加速度分析


由公式7.16,利用同樣的方式,可以求得各點之加速度。不過,在求四連桿之加速度時,仍然需應用前面所得之位置與速度資料如θ2、θ3及ω3。且因加速度項中之r2"、r3"、r4"、ω1、ω4及角加速度α4之值均為零,r4"項亦將為零。故將7.16式速度項下再次微分,可得

rp" = r2" + r3" = r1" (7.26)

用複數型式表示如下,但右邊項僅為軸方向之向量:

d/dt [jr2ω2ejθ2]+ d/dt[jr3ω3ejθ3]
= d/dt [r1'ejθ1] (7.27)

首先,考慮左邊任意第1及2項之微分,設該項以k代表:

d/dt [j rkωk ejθk] =
[jrk'ωkejθk+jrkαkejθk-rkωk²e]
= jrkαk ejθk- rk ωk2 ejθk
= jrk'ωkejθk+(jrkαk-rk ωk²) ejθk
(7.28)

公式(7.27)之左邊因rk'為零,故僅得(7.28)式右邊之右項;而(7.27)式之右邊項則因僅為軸向量之故,ω1為零,結果反而僅存第一項:

d/dt [ r1'ejθ1] = r1"ejθ1- jr1'ω1ejθ1
= r1"ejθ1

故(7.28)式可為調整為:

[jr2α2-r2ω2²] ejθ2+[jr3α3-r3ω3²]ejθ3
= r1"ejθ1 (7.29)

(jr2α2-r2ω2²) (cosθ2 +jsinθ2) +(jr3α3-r3ω3²) (cosθ3+jsinθ3)
= r"1 ( cosθ1 + jsinθ1)

將實數與虛數分離之:

-r2ω2²cosθ2-r2α2sinθ2-r3ω3²cosθ3-r3α3sinθ3=r"1cosθ1
-r2ω2²sinθ2+r2α2cosθ2-r3ω3²cosθ3+r3α3cosθ3=r"1sinθ1
(7.30)

由於上面二聯立方程式之變數有r"1、α2、α3,故只要知道其中一項,應可求解。

設α2為已知


整理上二式,可有不同的變化,若角加速度中,設α2為已知,其求法如下:

r"1 cosθ1+ r3α3 sinθ3 =
-r2α2 sinθ2- r2ω2²cosθ2-r3ω3²cosθ3 =f1(α2)
r"1sinθ1 - r3α3 cosθ3 =
+r2α2 cosθ2- r2ω2²sinθ2-r3ω3²cosθ3=f2(α2)

整理為矩陣型式:

   [cosθ1 r3sinθ3 ] [r"1] = [f1(α2)]
   [sinθ1 -r3cosθ3] [α3 ] [f2(α2)] (7.32)

設α3為已知


同理若α3為已知,其型式變成2與3之指標對調即可,亦即:

 [cosθ1 r2sinθ2] [r"1] = [f1(α3)]
 [sinθ1 -r2cosθ2] [α2 ] [f2(α3)] (7.33)

因此在程式中,可以利用同一型式或函數呼叫,改變指標的代碼即可得到所需要的答案。這個特點與求速度解時之ω3 與ω2相同。同時,由其矩陣亦可以看出,無論求速度或加速度,前面之[RM]矩陣內容均相同。其解法也與前面速度之解法相同。

設r"1為已知


其次討論的是:若已知r"1時,需求得α2、α3。同樣利用公式(7.30),將其調整可以獲得如下的安排:

- r3α3 sinθ3 - r2α2 sinθ2=
 r"1 cosθ1 + r2 ω2²cosθ2+r3ω3²cosθ3 = F1(r"1)
r3α3 cosθ3 + r2α2 cosθ2=
 r"1sinθ1 + r2 ω2²sinθ2 +r3ω3²cosθ3 = F2(r"1)

[-r3sinθ3 -r2sinθ2] [α3] = [F1(r"1)]
[ r3cosθ3 r2cosθ2] [α2] [F2(r"1)] (7.34)

至此,應可完全得到四連桿之各角加速度解。而類同速度之分析,在求得各桿之α2、α3、r1"之後,配合各桿之長度及角速度,即可求得點P、Q、R等之加速度向量,即:

Aq =[jr2α2-r2ω2²]ejθ2
=[jr2α2-r2ω2²] (cosθ2 + j sinθ2) (7.35)
Ap = [jr2α2-r2ω2²]ejθ2+[jr3α3-r3ω3²]ejθ3
= [jr2α2-r2ω2²] (cosθ2 +jsinθ2)+
[jr3α3-r3ω3²] (cosθ3 + j sinθ3) (7.36)

或者

Ap = r"1 ejθ4= r"1 (cosθ1 + j sinθ1) (7.37)