7.2 滑塊速度及加速度分析

速度分析

圖7.1 滑塊為元件之四連桿（續）

本題目中，由於參數r2、 r3、 r4、θ1、θ4等均應為定數，且為已知，故在速度部份這些相關項目ω1、ω4、r4'等均應為零，問題因此可以簡化。茲就相對應速度之變化量以點P而言，可為：

rp' = r2' + r3' = r1'                         (7.16)

改以複數表示，方程式如下：

jr2ω2ejθ2+jr3ω3ejθ3= r1'ejθ1 　　　　　　　　　　　(7.17)

jr2ω2(cosθ2 +jsinθ2)+jr3ω3 (cosθ3 +jsinθ3)
   = r1'(cosθ1+jsinθ1)                       (7.18)

將實數與虛數部份分開，得閉合方程式：

- r2ω2 sinθ2-r3ω3 sinθ3 = r1' cosθ1
r2ω2 cosθ2 + r3ω3 cosθ3 = r1' sinθ1           (7.19)

解上述閉合方程式時，其參數包括r1'、ω2及ω3項。茲就三項中已知一項進行討論，求解另二項變數時，可以分析如下：

(一)若r1'為輸入項

則其矩陣之型式為：

[- r2 sinθ2　- r3 sinθ3] [ω2]  = [r1'cosθ1]
[  r2 cosθ2 　 r3 cosθ3] [ω3]    [r1'sinθ1]        (7.20)

(二)若為ω2輸入項

求r1'及ω3之矩陣如下：

[cosθ1 - r3 sinθ3] [r1'] = [- r2 sinθ2]
[sinθ1   r3 cosθ3] [ω3 ]   [  r2 cosθ2]             (7.21)

(三)若為項ω3輸入項

求r1'及ω2之矩陣則如下列型式：

[cosθ1 - r2 sinθ2]  [r1'] = [-r3 sinθ3 ]
[sinθ1 r2 cosθ2  ]  [ω2 ] = [r3 cosθ3  ]            (7.22)

由第二項第三項之矩陣內容，可以找到其相關的對應變化，這對以程式解題時相當有幫助。

至於其點Q與P 之速度則可由下式獲得：

Vq =[r2' + j r2ω2]ejθ2=j r2ω2 (cosθ2 + j sinθ2)     (7.23)
Vp =[r2' + j r2ω2]ejθ2+[r3'+jr3ω3]ejθ3
 =jr2ω2(cosθ2 +jsinθ2)+jr3ω3(cosθ3+jsinθ3)        (7.24)

或者

Vp = [r1'+jr1ω1]ejθ1+[r4'+jr4ω4] ejθ4
  = r1'(cosθ4 +jsinθ4)                             (7.25)

加速度分析

由公式7.16，利用同樣的方式，可以求得各點之加速度。不過，在求四連桿之加速度時，仍然需應用前面所得之位置與速度資料如θ2、θ3及ω3。且因加速度項中之r2"、r3"、r4"、ω1、ω4及角加速度α4之值均為零，r4"項亦將為零。故將7.16式速度項下再次微分，可得

rp" = r2" + r3" = r1"                              (7.26)

用複數型式表示如下，但右邊項僅為軸方向之向量：

d/dt [jr2ω2ejθ2]+ d/dt[jr3ω3ejθ3]
 = d/dt [r1'ejθ1]                                   (7.27)

首先，考慮左邊任意第1及2項之微分，設該項以k代表：

d/dt [j rkωk ejθk] =
 [jrk'ωkejθk+jrkαkejθk-rkωk²ejθ]
 = jrkαk ejθk- rk ωk2 ejθk
 = jrk'ωkejθk+(jrkαk-rk ωk²) ejθk
                                                    (7.28)

公式(7.27)之左邊因rk'為零，故僅得(7.28)式右邊之右項；而(7.27)式之右邊項則因僅為軸向量之故，ω1為零，結果反而僅存第一項：

 d/dt [ r1'ejθ1] = r1"ejθ1- jr1'ω1ejθ1
     =  r1"ejθ1

故(7.28)式可為調整為：

 [jr2α2-r2ω2²] ejθ2+[jr3α3-r3ω3²]ejθ3
  =  r1"ejθ1                                           (7.29)

 (jr2α2-r2ω2²) (cosθ2 +jsinθ2) +(jr3α3-r3ω3²) (cosθ3+jsinθ3)
  = r"1 ( cosθ1 + jsinθ1)

將實數與虛數分離之：

-r2ω2²cosθ2-r2α2sinθ2-r3ω3²cosθ3-r3α3sinθ3=r"1cosθ1
-r2ω2²sinθ2+r2α2cosθ2-r3ω3²cosθ3+r3α3cosθ3=r"1sinθ1
                                                       (7.30)

由於上面二聯立方程式之變數有r"1、α2、α3，故只要知道其中一項，應可求解。

設α2為已知

整理上二式，可有不同的變化，若角加速度中，設α2為已知，其求法如下：

r"1 cosθ1+ r3α3 sinθ3 =
  -r2α2 sinθ2- r2ω2²cosθ2-r3ω3²cosθ3 =f1(α2)
r"1sinθ1 - r3α3 cosθ3 =
   +r2α2 cosθ2- r2ω2²sinθ2-r3ω3²cosθ3=f2(α2)

整理為矩陣型式：

　　 [cosθ1 r3sinθ3 ] [r"1] = [f1(α2)]
　　 [sinθ1 -r3cosθ3] [α3 ]   [f2(α2)]              (7.32)

設α3為已知

同理若α3為已知，其型式變成2與3之指標對調即可，亦即：

　[cosθ1  r2sinθ2] [r"1] = [f1(α3)]
　[sinθ1 -r2cosθ2] [α2 ]   [f2(α3)]               (7.33)                                               

因此在程式中，可以利用同一型式或函數呼叫，改變指標的代碼即可得到所需要的答案。這個特點與求速度解時之ω3 與ω2相同。同時，由其矩陣亦可以看出，無論求速度或加速度，前面之[RM]矩陣內容均相同。其解法也與前面速度之解法相同。

設r"1為已知

其次討論的是：若已知r"1時，需求得α2、α3。同樣利用公式(7.30)，將其調整可以獲得如下的安排：

- r3α3 sinθ3 - r2α2 sinθ2=
  　r"1 cosθ1 + r2 ω2²cosθ2+r3ω3²cosθ3 = F1(r"1)
r3α3 cosθ3 + r2α2 cosθ2=
  　r"1sinθ1 + r2 ω2²sinθ2 +r3ω3²cosθ3 = F2(r"1)

 [-r3sinθ3  -r2sinθ2]  [α3] = [F1(r"1)]
 [ r3cosθ3   r2cosθ2]  [α2]   [F2(r"1)]          (7.34)

至此，應可完全得到四連桿之各角加速度解。而類同速度之分析，在求得各桿之α2、α3、r1"之後，配合各桿之長度及角速度，即可求得點P、Q、R等之加速度向量，即：

Aq =[jr2α2-r2ω2²]ejθ2
  =[jr2α2-r2ω2²] (cosθ2 + j sinθ2)               (7.35)
Ap = [jr2α2-r2ω2²]ejθ2+[jr3α3-r3ω3²]ejθ3
  = [jr2α2-r2ω2²] (cosθ2 +jsinθ2)+
    [jr3α3-r3ω3²] (cosθ3 + j sinθ3)              (7.36)

或者

Ap = r"1 ejθ4= r"1 (cosθ1 + j sinθ1)              (7.37)