2/6/07

7.6 反置型滑塊連桿之運動分析

Slider-Crank Inversion



圖7.2 反置滑塊為元件之四連桿

滑塊應於用油壓機械如鏟斗、堆土機、驅動連桿等場合相當多。這些機構應用特色是採用油壓唧筒或活塞,使支撐桿之長度可以自由伸縮,以控制機構之運動。圖7.2所示即為此機構之分析圖。這個四連桿結構中,與前面略有不同。其第一桿固定,滑塊之中心線與第三桿共線,亦即沿第三桿軸線上作相對運動。曲塊應為第四桿,但必須一方向與第三桿共線,一方向與固定桿維持一固定距離。為便於分析,將第三桿與第四桿之連接點Q設於第三桿之連線與固定點R相垂直的位置。亦即第三桿為PQ,其長度會因滑塊的運動而變化;而第四桿則為RQ,與PQ維持垂直。如此亦構成四連桿的結構。與一般四連桿不同之處是點P與點Q的位置調換,其閉合方向程式因而略有不同。

為使滑塊的分析過程與前面普通四連桿取得一致性,我們仍將各桿及水平夾角分別標示為r1、r2、r3、r4與θ1、θ2、θ3、θ4,此時第一桿之θ1固定,第四桿則屬固定桿,其角度θ4為:

θ4 =θ3 - π/2 (7.38)

所以若第二桿為驅動桿時,則非常類似前面四連桿,固定第四桿,驅動第三桿之分析過程。茲依前一節之敘述,得到閉合公式為:

rp = r2 = r1 + r3 + r4 (7.39)
r2ejθ2= r1ejθ1+r3ejθ3+r4 ejθ4

將公式代入上式,即可將上式轉為:

r2 cosθ2 = r1 cosθ1 + r3 cosθ3 + r4 cosθ4
r2 sinθ2 = r1 sinθ1 + r3 sinθ3 + r4 sinθ4 (7.40)

解上述閉合方程式時,變數r1、r2、r4、θ1、θ4等均為已知,而θ2、θ3、 r3等三個參數待解,故可依這三個未知項中,令其中一項為已知,以求得其他兩個對應參數之值。

位置分析


茲就上述三個參數進行解析:

(1)θ2為已知之解


當θ2為已知時,可先消去θ3,再利用前面之技巧求得r1,即:

  r2 cosθ2 - r1 cosθ1 = r3 cosθ3 + r4 sinθ3
  r2 sinθ2 - r1 sinθ1 = r3 sinθ3 - r4 cosθ3 (7.41)

兩邊平方相加,以消去θ3:

r3² =r1²+r2²-r4²-2r1r2(cosθ1cosθ2+sinθ1 sinθ2 ) (7.42)

因此,可以求得r3之值。其次利用公式7.41之1式,設C= r2 cosθ2 - r1 cosθ1,則可以改寫成r3 cosθ3+r4 sinθ3 = C之型式。利用半角公式,設β=tan((θ3/2),即可以作化為下面之型式:

  sinθ3=[2 tan(θ3/2)] / [1+ tan2 (θ3/2)]=2β/(1+β2)
  cosθ3=[[1- tan2 (θ3/2)] / [1+ tan2 (θ3/2)]= (1-β2)/(1+β2)
(7.43)

將此二式代入公式7.41之1,則

r3 (1-β2)/(1+β2) + r4 2β/(1+β2) = C



(C + r3 )β2 - 2 r4β + (C – r3) = 0

解之得:

β = [r4 +ε(r4²-C²+r3²)1/2] / (C +r3) (7.44)

式中之±值表示β有兩個值,負值代表與正值在相反的方向。為在程式中表示這個種模式均存在,可用ε來代表±1之值。輸入所需之值決定之。

在求開方根時,內部值不能為負值,否則會有虛根出現。若有虛根出現,表示四連桿無法在真實世界上存在,故必須避免。故利用上式檢驗r4²+r3²>C²。若不符合,表示上述所給的四連桿尺寸無法構成,必須加以檢討及修正。

得到β後,即可利用θ3 =2 tan-1β求得θ3。

(2)θ3為已知之解



若為θ3已知,則θ2 及r3為未知,公式7.44可改寫如下:

r2 cosθ2 = r1 cosθ1 +r3 cosθ3+ r4 sinθ3
r2 sinθ2 = r1 sinθ1 +r3 sinθ3 - r4 cosθ3 (7.44)'

兩邊平方相加,可消去θ2而求得r3如下:

r3²+2r3r1(cosθ1cosθ3+sinθ1 sinθ3)+
2r1 r4(cosθ1 sinθ3 -sinθ1 cosθ3)+r1²+r4²-r2²=0
(7.45)

設 B及C代表其中項如下:

 B = 2 r1 (cosθ1 cosθ3 + sinθ1 sinθ3 )
 C = 2r1 r4 (cosθ1 sinθ3 - sinθ1 cosθ3 )+r1²+r4²-r2²

 則以r3為主之二次方程式可以表示如下:

 r3²+ Br3 + C = 0

解之得:

r3 = {-B +ε[B²–4C]1/2}/2 (7.46)

為在程式中表示這個種模式均存在,可用ε來代表±1之值。輸入所需之值決定之。

有了r3之後,即可利用公式7.44'求得θ2:

θ2= tan-1{[r1 sinθ1 +r3 sinθ3 - r4 cosθ3]/
[r1 cosθ1 +r3 cosθ3+ r4 sinθ3]} (7.47)

(3)r3為已知之解



r2 cosθ2 - r1 cosθ1 = +r3 cosθ3+ r4 sinθ3
r2 sinθ2 -r1 sinθ1 = +r3 sinθ3 - r4 cosθ3 (7.44)'

兩邊平方之並相加調整得:

-2 r2 r1 (cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 )+
(r2²+r1²-r3²-r4²)=0

將上式調整為 A cosθ2+B sinθ2+ C =0 之型式。令

A=-2 r2 r1 cosθ1
B=-2 r2 r1 sinθ1
C= r2²+r1²-r3²-r4²

利用半角公式可以得

θ2 =2tan-1{[-B +ε(B²-C²+A²)1/2]/(C-A)}
(7.48)

有了之後,可以利用閉合式之兩邊相除,並設

A= (r2 cosθ2 - r1 cosθ1) / ( r2 sinθ2 - r1 sinθ1)

則:

tanθ3=( r3+A r4)/( A r3- r4) (7.49)


速度分析



本題目中,由於參數r1、 r2、 r4、θ1等均為固定值,故在速度部份這些相關項目r'1、r'2、ω1、r'4均應為零,且ω3=ω4,因此問題可以簡化。茲就P點依兩路徑所得之相對應速度之變化量應相等,因此:

rp' = r2' = r1' + r2' + r3' (7.50)

用複數型式表示之:

jr2ω2ejθ2= r3'ejθ3+jr3ω3ejθ3+jr4ω4ejθ4
(7.51)

分離成尤拉公式:

 jr2ω2 (cosθ2+j sinθ2)= r3'(cosθ3 +jsinθ3)+
  jr3ω3(cosθ3+jsinθ3)+jr4ω4(cosθ4+jsinθ4) (7.52)

將其實數與虛數部份分開,得其閉合方程式:

- r2ω2 sinθ2= r3'cosθ3 - r3ω3 sinθ3 - r4ω3sinθ4 (7.53)
r2ω2 cosθ2= r3'sinθ3 + r3ω3 cosθ3 + r4ω3cosθ4 (7.54)

(1)ω2為已知時


利用下列關係式:

r3'cosθ3 - r3ω3 sinθ3 - r4ω3sinθ4 =-r2ω2 sinθ2 (7.55)
r3'sinθ3 + r3ω3 cosθ3 + r4ω3cosθ4 = r2ω2 cosθ2

寫成矩陣型式:

 [cosθ3 -r3sinθ3-r4sinθ4] [r3'] = [-r2ω2 sinθ2]
[sinθ3 r3cosθ3+r4cosθ4] [ω3 ] [ r2ω2 cosθ2] (7.56)

(2)ω3為已知時


其關係式如下:

 -r2ω2sinθ2 - r3'cosθ3 = - r3ω3 sinθ3 - r4ω3sinθ4
r2ω2cosθ2 - r3'sinθ3 = r3ω3 cosθ3 + r4ω3cosθ4 (7.57)

改寫成矩陣型式:

 [-r2sinθ2 -cosθ3] [ω2 ] = [-r3ω3sinθ3-r4ω3sinθ4]
[ r2cosθ2 -sinθ3] [r3'] [ r3ω3cosθ3+r4ω3cosθ4] (7.58)


(3)r3'為已知時



-r2ω2sinθ2+r3ω3 sinθ3+r4ω3sinθ4=r3'cosθ3

r2ω2cosθ2-r3ω3 cosθ3-r4ω3cosθ4=r3'sinθ3 (7.59)

改寫為矩陣型式:

   [-r2 sinθ2   r3sinθ3+r4sinθ4] [ω2] = [r3'cosθ3]
[ r2 cosθ2 -r3cosθ3-r4cosθ4] [ω3] [r3'sinθ3] (7.60)


加速度分析


由公式(7.53),利用同樣的方式,當求四連桿之加速度時,仍然應用前面所得之位置與速度資料如θ2、θ3、ω2及ω3。且因加速度項中之r1"為零,而角加速度α3 =α4、ω3=ω4。故將(7.53-54)式速度項下再次微分,可得:

  rp"= r2" = r3" + r4"            (7.61)

用複數型式表示時第第二及第四桿相同均有此項加速度:(jrkαk-rkωk²)ejθk,而第三桿則是相當自由的桿,其分析如下:

r3"= r3"ejθ3+jr3'ω3ejθ3+[jr3'ω3ejθ3
+jr3α3e jθ3-r3ω3²ejθ3]
= r3"ejθ3+2jr3'ω3ejθ3
+(jr3α3–r3ω3²)ejθ3
(7.62)

上式可以採用尤拉關係式:

(jr2α2-r2ω2²)(cosθ2+jsinθ2) =
   r3"(cosθ3+jsinθ3)+2jr3'ω3(cosθ3+jsinθ3)
   +(jr3α3-r3ω3²)(cosθ3+jsinθ3)
+[jr4α3-r4ω3²] (cosθ4+jsinθ4)


將實數與虛數分離之,

-r2α2 sinθ2-r2ω2²cosθ2=
r3"cosθ3-2r3'ω3sinθ-3r3ω3²cosθ3-
  r3α3sinθ3-r4ω3²cosθ4-r4α3sinθ4

r2α2cosθ2-r2ω2²sinθ2=
r3"sinθ3+2r3'ω3cosθ-3r3ω3²sinθ3+
r3α3cosθ3-r4ω3²sinθ4+r4α3cosθ4 (7.63)



(1)α2為已知時



r3"cosθ3-r3α3 sinθ3-r4α3sinθ4=
-r2α2sinθ2-r2ω2²cosθ2+2r3'ω3sinθ3
+r3ω3²cosθ3+r4ω3²cosθ4=f1

r3"sinθ3+r3α3 cosθ3+r4α3cosθ4=
r2α2cosθ2-r2ω2²sinθ2-2r3'ω3cosθ3
+r3ω3²sinθ3+r4ω3²sinθ4=f2 (7.64)


將上式之右端分別設為f1及f2:

  [cosθ3 -r3sinθ3-r4sinθ4] [r3"] = [f1]
  [sinθ3 r3cosθ3+r4cosθ4] [α3 ] [f2] (7.65)


(2)α3為已知時



-r2α2 sinθ2-r3"cosθ3=
r2ω2²cosθ2-2r3'ω3sinθ-3r3ω3²cosθ3
-r3α3sinθ3-r4ω3²cosθ4-r4α3sinθ4= f3

r2α2cosθ2-r3"sinθ3=
r2ω2²sinθ2+2r3'ω3cosθ-3r3 ω3²sinθ3
+r3α3cosθ3-r4ω3²sinθ4+r4α3cosθ4= f4 (7.66)


改寫為矩陣型式:

   [-r2sinθ2 -cosθ3] [α2 ] = [f3]
[r2 cosθ2 -sinθ3] [r3"] [f4] (7.67)



(3)r3'為已知時



r2α2 sinθ2 - r3α3 sinθ3- r4α3sinθ4=
-r3"cosθ3-r2ω2²cosθ2+2r3'ω3sinθ3
+r3ω3²cosθ3+r4 ω3²cosθ4=f5

-r2α2cosθ2 + r3α3 cosθ3 + r4α3cosθ4=
-r3"sinθ3-r2ω2²sinθ2-2r3'ω3cosθ3
+r3ω3²sinθ3+r4ω3² sinθ4=f6
(7.68)

化簡為矩陣型式:

 [-r2sinθ2 r3sinθ3+r4sinθ4] [α2] = [f5]
[ r2cosθ2 -r3cosθ3-r4cosθ4] [α3] [f6] (7.69)