2/6/07

第七章 滑塊機構

在課本第四章4.3.2節以後,均談到滑塊機構之運作情形。滑塊配合連桿之運動也甚為重要,而且在實際的例子上幾乎俯拾皆是,反而比四連桿之應用更多。但是連桿組中,若能預先瞭解四連桿之運動情形,對於具有滑塊之連桿組件之分析反而更為容易。所以,這兩種連桿組應是相輔相成的。

有關四連桿之分析,屬各桿固定的部份,己見於前節之說明。但在實際的分析過程上,除這種簡化的機構外,一般常見的滑塊曲柄的型式,在分析上亦屬於四連桿機構的範疇。內燃機引擎、工業用之壓縮機及往復型運動機構均屬之。分析上屬於滑塊的機構實質與固定桿長的四連桿型式相同,唯一差異是滑塊部份的一桿因滑動的關係,均具有速度及加速度,而其位移也不斷在改變。

位置分析



圖7.1 滑塊為元件之四連桿

7.1位置分析


圖7.1為具一滑塊的示意分析圖,幾乎所有具滑塊件的機構均可化成這樣的簡化向量圖,只是有些特殊狀況仍然會存在,例如第四桿之長度為零,滑塊之移動方向因而與r1桿重合。就整個機構而言,若與前面四連桿比較,第二及第三桿之位置大體相同,不同的地方是第一桿與第四桿之出現。目前滑塊需在一平面上滑動,故具有往復運動。

為代表這種滑動的動作,可配合四連桿,並讓第一桿之方向與滑塊之路徑平行。通過滑塊中心對此桿作垂線,塑造出兩相互垂直的第一及第四桿,故分析的過程中,滑塊連桿仍然存在四個連桿。只是第一桿雖然方向固定,其長度則成為變數,而第四桿則維持相同的長度與角度,形成一個如同可移動的”固定桿”。第四桿之長度亦為滑塊行進方向與原心之重直距離,此一距離又稱為偏置值。有些滑塊曲柄結構之偏置量為零,亦即其滑動的方向剛好通過原心,此時之第四桿之長度為零,第一桿終與OP連線重合。變成僅有三桿構成一個閉合圈。

為使分析過程有一致性,我們仍將各桿及水平夾角分別標示為r1、r2、r3、r4與θ1、θ2、θ3、θ4,此時第一桿之θ1固定,第四桿則屬固定桿,其角度θ4與θ1有如下的關係:

θ4 =θ1 + π/2         (7.1)

若第二桿為驅動桿時,其情況非常類似前面四連桿中,將第四桿固定,而直接驅動第三桿之分析過程。茲依前一節之敘述,得到閉合公式如下:

rp = r2 + r3 = r1 + r4     (7.2)

r2ejθ2+r3ejθ3 = r1ejθ1+r4ejθ4

經轉換為尤拉表示式,其結果將化為兩項聯立方程式:

r2 cosθ2 + r3 cosθ3 = r1 cosθ1 + r4 cosθ4
r2 sinθ2 + r3 sinθ3 = r1 sinθ1 + r4 sinθ4 (7.3)


解上述閉合方程式時,變數r2、 r3、 r4、θ1、θ4等均應為已知,而θ2、θ3、 r1等三個參數待解,故只要在這三個未知項中,令其中一項為已知,以求得其他兩個對應參數之值。

(一)θ2為已知,求解θ3與r1



此時,可先消去θ3,再利用前面之技巧求得r1,方式如下:

r3 cosθ3 = r1 cosθ1 + r4 cosθ4- r2 cosθ2
r3 sinθ3 = r1 sinθ1 + r4 sinθ4- r2 sinθ2   (7.4)

兩邊平方後相加,以消去θ3:

r3² = r1²+ r2²+ r4²
+2 r1 r4 (cosθ1 cosθ4 + sinθ1 sinθ4)
-2 r1 r2 (cosθ1 cosθ2 + sinθ1 sinθ2)
-2 r2 r4 (cosθ2 cosθ4 + sinθ2 sinθ4) (7.5)


目前式中已消去θ3,僅剩r1為待解之變數,可將之變換成為:

r1² + A r1 + B = 0         (7.6)

其中,

A=2 r4 (cosθ1 cosθ4 + sinθ1 sinθ4)
-2 r2 (cosθ1 cosθ2 + sinθ1 sinθ2)
B= r2²+ r4²- r3²
-2 r2 r4 (cosθ2 cosθ4 + sinθ2 sinθ4)


式(7.6)為r1的一元二次方程式,解之得

r1 = [-A ±(A²- 4B )1/2] / 2     (7.7)


式中之±值表示r1有兩個對應值,負值代表與正值在相反的方向。為在程式中表示這個種模式均存在,可用ε來代表±1之值,以供選擇。

在求開方根之時,基本上,內部值不能為負值,否則會有虛根出現。虛根表示此四連桿之滑塊機構組合無法形成,必須另外調整適當的組合。為避免虛根之出現,可先檢驗A²> 4B的條件,只要符合即可得解。經獲得r1值之後,可回到原先之閉合方程式(7.3),兩邊各互除,可得到θ3。


tanθ3 =[ r1 sinθ1 + r4 sinθ4 - r2 sinθ2] /
[r1 cosθ1 + r4 cosθ4 - r2 cosθ2]    (7.8)


由(7.8)式計算得之角度θ3會有兩個值,分別落在不同象限。故為瞭解其所處之象限,分子及分母之符號必須保留,以確定其所處之象限。在MATLAB中,有一個指令可以判別其所處象限的位置,即:


θ=tan2(x,y)


由參數中之x與y值之正負來決定,角度θ之實際值,該角度之大小亦會反應其座落的象限。

有了上述之θ1、θ2、θ3及θ4之後,配合各桿之長度即可求得點P、Q、R等之位置向量:


Rq = r2 ejθ2= r2 (cosθ2 + j sinθ2)      (7.9)
Rp = r2 ejθ2+ r3 ejθ3
= r2 (cosθ2 + j sinθ2)+ r3 (cosθ3 + j sinθ3) (7.10)


或者

Rp = r1 ejθ1+ r4 ejθ4
= r1 (cosθ1 + j sinθ1)+ r4 (cosθ4 + j sinθ4) (7.11)


(二)當r1為已知,求解θ2、θ3



由r1求θ2的過程可再依公式(7.5) 進行,並歸納使其併成下列型式:


A cosθ2+B sinθ2+C =0


其實際內容應為:

[-2 r1 r2 cosθ1 -2 r2 r4 cosθ4] cosθ2+
[-2 r1 r2 sinθ1-2 r2 r4 sinθ4] sinθ2+
[r1²+r2²+r4²-r3²+2r1 r2 (cosθ1 cosθ4 + sinθ1 sinθ4)]
=0 (7.12)


兩者間之對應項目ABC分別為:

A=2 r1 r2 cosθ1 -2 r2 r4 cosθ4
B=2 r1 r2 sinθ1-2 r2 r4 sinθ4
C= r1²+r2²+r4²-r3²+2 r1 r4 (cosθ1 cosθ4 + sinθ1 sinθ4)
(7.13)


為求得A cosθ2+B sinθ2+C=0之解,可利用半角公式。設

β=tan(θ2/2)


代入三角函數:

(C – A) β²+ 2 Bβ+( A+C) = 0 (7.14)


解此二次方程式,

   β=[-B ±(B²-C²+A²)1/2]/[C-A]          (7.15)


同樣,β應有二根,代表兩個位置解。程式中可用ε= ±1來進行選擇。並進而求得θ2:

   θ2 = 2 tan-1β


其範圍存在於 -π/2≦tan-1β≦π/2,故-π≦θ4≦π。

(三) 當θ3為已知,求解θ2與r1



在解題工作上,其過程類似第一狀況,以θ2為輸入。故所用之公式中,只要將標碼之2與3互換,即可求得相同的解。