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6.3 四連桿加速度分析

同樣的方式,同樣的故事。在求四連桿之加速度時,仍必需借助前面位置與速度分析之資訊,其中包括θ3、θ3及ω3、ω4。接續速度方向的解析過程,且注意r1"、r2"、r3"、r4"及角加速度α1之值均為零。


圖6.1 四連桿之關係位置及各桿名稱(續)

將速度項下演變之方程式對時間再次微分:

d/dt(jr2ω2ejθ2)+d/dt(jr3ω3ejθ3)=d/dt(jr4ω4ejθ4) (6.28)

此過程會變成相當繁複,但不入虎山焉得虎子,先考慮任意項k之微分結果:

d/dt(jrkθkejθk) =jrk'ωkejθk +jrk'αkejθk -jrkωk²ejθk
=jrkαkejθk-jrkωk²ejθk
=[jrkαk-rkωk²]ejθk (6.29)

上式中因為第一項桿長不伸長,亦無軸向加速度,故rk'=0 。將(6.28)式之結果應於用於上面之等式,則

[jr2α2-r2ω2²]ejθ2 + [jr3α3-r3ω3²]ejθ3
=[jr4α4-r4ω4²]ejθ4

或為尤拉式:

[jr2α2-r2ω2²](cosθ2+jsinθ2) + [jr3α3-r3ω3²](cosθ3+jsinθ3)
=[jr4α4-r4ω4²](cosθ4+jsinθ4) (6.30)


將虛數與實數分離之,得:

r2ω2²cosθ2+r2α2sinθ2 +r3ω3²cosθ3+r3α3sinθ3
=r4ω4²cosθ4+r4α4sinθ4)
-r2ω2²sinθ2+r2α2cosθ2 -r3ω3²sinθ3+r3α3cosθ3
=-r4ω4²sinθ4+r4α4cosθ4) (6.31)

整理上二式,得

-r3α3cosθ3+r4α4cosθ4 =
r4ω4²sinθ4-r2ω2²sinθ2+r2α2cosθ2 -r3ω3²sinθ3

-r3α3sinθ3+r4α4sinθ4 =
-r4ω4²cosθ4+r2ω2²cosθ2+r2α2sinθ2 +r3ω3²cosθ3

方程式之右側均為已知,有些可以由前面之方程式得解,故右側值可以簡化,設

f1(α2)=r4ω4²sinθ4-r2ω2²sinθ2+r2α2cosθ2 -r3ω3²sinθ3
f2(α2)=-r4ω4²cosθ4+r2ω2²cosθ2+r2α2sinθ2 +r3ω3²cosθ3


則上式可整理為:

-r3α3cosθ3+r4α4cosθ4 = f1(α2)
-r3α3sinθ3+r4α4sinθ4 = f2(α2) (6.32)

整理後,以矩陣表示:

   [-r3cosθ3 r4cosθ4 [α3 = [f1(α2)
  -r3sinθ3 r4sinθ4] α4] f2(α2)] (6.33)

由公式(6.32)式可以看出,無論求速度或加速度,前面之[RM]矩陣內容均相同,其解法也與速度相同。至此,應可完全得到四連桿之解析結果。令:

DM =
α3
α4

FM=
f1(α2)
f2(α2)

因此,

 [DM]=[RM]\[FM]


同速度之分析,在求得各桿之α2、α3、α4之後,配合各桿之長度及角速度,即可求得點P、Q、R等之加速度向量,即:

Aq=[jr2α2-r2ω2²]ejθ2=[jr2α2-r2ω2²](cosθ2+jsinθ2) (6.34)
Ap=[jr2α2-r2ω2²]ejθ2 + [jr3α3-r3ω3²]ejθ3
=[jr2α2-r2ω2²](cosθ2+jsinθ2) + [jr3α3-r3ω3²](cosθ3+jsinθ3)
(6.35)

或者,

  Ap=[jr4α4-r4ω4²]ejθ4
=[jr4α4-r4ω4²](cosθ4+jsinθ4) (6.36)