範例10.1
圖10.6之共軸齒列中若主從動齒輪之轉速比VR為10，且兩者之齒數需不得小於15齒時，求主從組合之徑節及齒輪4與5之齒數(齒輪2與齒輪3分別為20及30齒)。
[解]：
因為速度比之關係為：
VR=w2/w5 = (-H3/N2)(-N5/N4) =(-30/20)(-N5/N4) = 10
故
N5=N4/{N3/[R2 x RV]}=(20/3)N4
由於本題為共軸，下面各齒輪之直徑關係應成立：
D2 + D3 = D4 + D5
注意左邊之徑節Pd2應相同，但可以不同於右邊之徑節Pd4。即：
Pd2=Pd3=N2/D2=N3/D3 Pd4=Pd5=N4/D4=N5/D5
代入上式，得：
[N2 + N3]/Pd2 = [N4 + N5]/Pd4
將 之通式代入上式，可得 ：
N4=(Pd4/Pd2)[N2+N3]/{1+)N2/N3)VR}=6.52(Pd4/Pd2)
利用MATLAB程式函數coaxial_trains()之運算如下：
function coaxial_trains(rv,n2,n3,teeth_limit,pitch_list)
輸入參數：
rv：速度比。
n2,n3：第一齒輪組合之齒數。
teeth_limit：所選齒輪之最低齒數。
pitch_list：可被選用之齒輪周節選單。
程式10.1
function coaxial_trains(rv,n2,n3,teeth_limit,pitch_list) % %prog 10.1 % pitch_list is a row vector for listing pitches of gears % rv: velocity ratio % teeth_limit:number of teeth limit for gears % n2,n3: no. of teeth for the first pair gears % Example: % pitch_list=[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56] % coaxial_trains(10,20,30,15,[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56]) nlist=length(pitch_list); fact=n3/n2/rv; [' N4 N5 Pd2 Pd4'] for i=1:nlist pd2=pitch_list(i); for j=1:nlist pd4=pitch_list(j); for k=teeth_limit:200 n4=k; n5=n4/fact; n4f=(n2+n3)/(1+1/fact)*(pd4/pd2); if fix(n5)==n5 & abs(n4f-n4)<0.1 [n4,n5,pd2,pd4] end end end end 執行例：設RV=10，N2=20，N3=30 及 最低齒數=15，求其可能之組合。>> coaxial_trains(10,20,30,15,[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56]) ans = N4 N5 Pd2 Pd4 ans = 87 580 1.5 20 ans = 174 1160 1.5 40 ans = 15 100 1.75 4* ans = 87 580 3 40 ans = 15 100 3.5 8* ans = 24 160 12 44* ans = 15 100 14 32* ans = 18 120 16 44*上述中徑節比較接近的如具星號的組合。程式之輸入項中，pitch_list為業界所使用之可能徑節。10-2.5複式齒輪組之設計
前面討論的齒輪組中，其速度比之計算較為直接而且容易，但若需要設計一套合乎預定轉速比之齒輪組時，則必須反向設計。換言之，先就已知齒輪組的轉速比決定各齒輪之齒數，此時計算之步驟變為相當複雜，而且必須使用嚐試與錯誤的方法。當然利用電腦進行演算則可以加快整個反設計之過程。本節將舉例介紹這種反向的演算法。 10-2.5.1 設計步驟 範例10.3設計一組複式齒輪使其轉速比為180。 [解]： 開始時，假設要設計一組複式齒輪使其轉速比為180。其考慮的因素及過程如下：
- 1. 決定組合數：複式齒列可用串聯多個組合之方式達到整體轉速比。設計總是由最簡單的結構開始，由於每組之轉速比以維持在10以內為佳，超過此值時則需考慮增加齒輪組數。因此轉速比為180時必須用較多的組數才成達到目標。首先，將180開方，其值為13.416，仍然比10大，故使用兩組組合仍嫌不足，如將180開立方，其值為5.646，低於10甚多，故使用三組齒輪之組合。
- 2. 若能直接找到轉速比為5.646之齒輪組合時，應是最好的選擇，因為只要將這種組合串聯三組即可。設驅動之小齒輪數最小為12齒(N2>=12)*，則依序可以得到對應大齒輪之齒數如下：
N3=5.646x12=67.75 N3=5.646x13=73.40 N3=5.646x14=79.06 N3=5.646x15=84.69
- 3. 大齒輪齒數必須為整數。由上列之數值中，最接近整數者為79.06，故選用轉速比79:14是最佳選擇，串聯三組此轉速比之組合應可得到總轉速比為 (79/14)3=179.68，其值與理想比值180之誤差約0.2% 。若此複式齒輪作成之變速齒輪箱不作為計時之用，而僅作一般吊車的變速系統，則此項差異應可接受。其齒數順序為14：79；14：79；14：79等三組。
- 4. 由於大部份製造機械均需要正確的轉速比，以免產生脫序運動。這時硬要三組之轉速比均相等並不一定適當，有些時候，可以就總轉速比值之性質求得不同組合之轉速比。起先仍可由180之開立方值出發，由其值5.646之近似整數如6開始。兩組串聯可得比值為36:1，再由180除以36可以得最後組之轉速比為5。則三組合之轉速比分別為6, 6, 5。若小齒輪為14齒，則其對應大齒輪分別為84, 84, 70。其齒數序為14：84，14：84，14：70。此處小齒輪採用14齒係因在壓力角25度時，可以防止內切的最小齒數。
10-2.5.2 實例應用
範例10.4 試設計一套如圖10.6之共軸齒列，令其輸入與輸出軸之轉速比VR=18。
[解]：
相關步驟說明如下：
- 1. 雖然VR不一定為整數，但若為整數則會使解題更為簡化。
- 2. 將VR=18開平方，得4.2426，其值小於每組合應低於10之限制，故可使用兩組合串列的方式，構成一齒列。
- 3. 若能找到將一組正好等於4.2626之轉速比時即可使用雙組同比值的方式，其軸距即可相同，並符合共軸之條件。其步驟是先以小齒輪最低齒數12開始，相乘之，利用MATLAB指令可計算如下：
>>VR=18; %整組之轉速比設為18。 >>mr=sqrt(VR); %以開方先取得單組轉速比估計值。得mr=4.2426。 >>T1=[12:40]’; %先設定驅動輪由12齒開始至40齒可能範圍，行矩陣。 >> T2=round(T1.*mr); %以估計值計算被動齒輪之齒數。 >>VR2=(T2./T1).^2; %計算實際之總轉速比。 >>Diff=(VR2-VR)/VR*100;%求其誤差百分比。 >>[T1 T2 VR2 Diff] %列出相關值 ans = 12.0000 51.0000 18.0625 0.3472 13.0000 55.0000 17.8994 -0.5588 14.0000 59.0000 17.7602 -1.3322 15.0000 64.0000 18.2044 1.1358 16.0000 68.0000 18.0625 0.3472 17.0000 72.0000 17.9377 -0.3460 18.0000 76.0000 17.8272 -0.9602 19.0000 81.0000 18.1745 0.9695 20.0000 85.0000 18.0625 0.3472 21.0000 89.0000 17.9615 -0.2142 22.0000 93.0000 17.8698 -0.7231 23.0000 98.0000 18.1550 0.8612 24.0000 102.0000 18.0625 0.3472 25.0000 106.0000 17.9776 -0.1244 26.0000 110.0000 17.8994 -0.5588 27.0000 115.0000 18.1413 0.7849 28.0000 119.0000 18.0625 0.3472 29.0000 123.0000 17.9893 -0.0595 30.0000 127.0000 17.9211 -0.4383 31.0000 132.0000 18.1311 0.7284 32.0000 136.0000 18.0625 0.3472 33.0000 140.0000 17.9982 -0.0102 34.0000 144.0000 17.9377 -0.3460 35.0000 148.0000 17.8808 -0.6621 36.0000 153.0000 18.0625 0.3472 37.0000 157.0000 18.0051 0.0284 38.0000 161.0000 17.9508 -0.2732 39.0000 165.0000 17.8994 -0.5588 40.0000 170.0000 18.0625 0.3472其中第一行為驅動軸由12齒至40齒之變化；第二行為轉速比維持4.2626時之被動輪齒數(整數)；第三行為實際計算之轉速比；最後一行為計算誤差百分比。就所得之值觀察，T1=12之誤差為0.3472％，差強人意。最小者為T1=33，其誤差為-0.0102％，不過被動輪為140齒，顯然嫌大些。
- 4. 採用18之質因數，並將兩組合設成不同轉速比。在每組VR值不超過10之情況下，其可能集合有[9X2]、[6X3]等兩種。在齒輪組的考慮中應選齒數較不懸殊的組合，故取[6X3]。
- 5. 設兩組速度比之組合為[6X3]。原則上小齒輪應不小於12齒，故所選的組合必須乘一個係數。至於選取何係數，兩個組合可以不同。
- 6. 基於共軸，各組合間之齒數關係如下，且設等於常數K：
N2 + N3 = N4 + N5 = K VR = w2/w3 = (-N3/N2)(-N5/N4)=N3N5/(N2N4)
- 7. 要解上兩式，前一組合之VR=6，後一組合之VR=3，則
N3/N2=6 therefore, N3=6N2 N5/N4=3 therefore, N5=3N4
- 8. 聯合上面之公式，可得下面之結果：
K = 7N2 K=4N2
- 9. K值之最小公倍數應為28，因此N2=4，N4=7。
- 10. 為防止內切的問題，壓力角為25度時之最小齒數應為12齒，故N2及N4應乘三倍，即得此齒列之兩組合之齒數分別為N2=12，N3=72；N4=21，N5=63。
10-2.5.3謝福吉(Selfridge)法
同軸複式齒列但具有非整數轉速比設計問題則較為複雜。有些齒列之轉速比不但非為整數，有時為無理數，尤其當英制系統轉為公制或有π的常數隱藏其中時，更無法以整數比作出近似之組合。故如何找出近似的比值相當重要。下面介紹的計算法稱為謝福吉(Selfridge)法，通常可應用到三個組合以內之演算。 設齒數之最高及最低齒限分別為Nmax、Nmin，其容許誤差為ε，則因VR =N3N5/(N2N4)轉速比之最高與最低範圍為VRhigh=VR + e; VRlow=VR - e VRlow<=N3N5/(N2N4)<=VRhigh由於齒數需為整數，其最大及最小齒數為Nmax、Nmin，其關係如下：Nmin=ceil(N2N4VRlow<=N3N5<=fix(N2N4VRlow)=Nmax式中，函數CEIL()表示將取接近數值之高整數；而函數FIX()則取接近數值之低整數。10-2.5.4 MATLAB程式函數
利用電腦重複測試之能力可以找出合適之齒數，使其值落於Nmax與Nmin之間。 其MATLAB程式函數two_stage_trains()如下：function [result,counter]=two_stage_trains(rv,nmin,nmax,epx)此程式處理兩組合齒輪組。輸入參數為： rv：速度比。 nmin：最低齒數限。 nmax：最高齒數限。 epx：容許誤差。 輸出則為RESULT及counter。前者包括齒輪2及3之齒數，該組之轉速比；齒輪4及5之齒數，該組之轉速比；總轉速比及誤差。counter為計數實際無法達成之次數，程式中每連續試一次無法達到原設定之容許誤差時，誤差值會自動加倍，直到得到較滿意的答案為止。 程式10.2function [RESULT,counter]=two_stage_trains(rv,nmin,nmax,epx) % %prog 10.2 % Find the grear teeth for the set of coaxil gear trains % rv: velocity ratio % nmax,nmin:max.& min. number of teeths can be used for gears % epx: error % RESULT:a row matrix of eight elements, including % N2 N3 RV1 N4 N5 RV2 RV error % Example: % two_stage_trains(pi,15,100,3.1416e-5) epsx=epx; counter=0; [' N2 N3 RV1 N4 N5 RV2 RV 誤差'] ok=1; while ok, ss=1; rv_h=rv+epx; rv_l=rv-epx; nh3=fix(nmax^2/rv_h); nh4=fix(nmax/sqrt(rv_h)); for pin1=nmin:nh4 nhh=min(nmax,fix(nh3/pin1)); for pin2=pin1:nhh tm=fix(pin1*pin2*rv_h); tn=ceil(pin1*pin2*rv_l); if tm>=tn nm=max(nmin,fix((tn+nmax-1)/nmax)); np=sqrt(tm); for k=tn:tm for gear1=nm:np if (mod(k,gear1))==0 gear2=k/gear1; error=(rv-k/(pin1*pin2)); if error<=epx ratio1=gear1/pin1; ratio2=gear2/pin2; ratio=ratio1*ratio2; result(ss,:)=[pin1,gear1,ratio1,pin2,gear2,ratio2,ratio,abs(error)]; ss=ss+1; end end end end end end end if ss==1 epx=epx*2; counter=counter+1; else ok=0; end end RESULT=sortrows(result,8);執行例： 設計一同軸複式齒例，其轉速比為π，最高齒數為100齒，最低為15齒，容許誤差為e-5π。 執行two_stage_trains()函式，結果如下：>> a=two_stage_trains(pi,15,100,3.1416e-5) ans = N2 N3 RV1 N4 N5 RV2 RV 誤差 a = 25 51 2.04 50 77 1.54 3.1416 7.3464e-006 29 88 3.0345 85 88 1.0353 3.1416 1.0503e-005 22 62 2.8182 61 68 1.1148 3.1416 1.2922e-005 33 68 2.0606 61 93 1.5246 3.1416 1.2922e-005 43 77 1.7907 57 100 1.7544 3.1416 1.7786e-005 28 85 3.0357 86 89 1.0349 3.1416 1.8642e-005 43 85 1.9767 56 89 1.5893 3.1416 1.8642e-005 23 75 3.2609 82 79 0.96341 3.1416 2.3194e-005 41 75 1.8293 46 79 1.7174 3.1416 2.3194e-005 17 54 3.1765 91 90 0.98901 3.1416 2.8336e-005 17 60 3.5294 91 81 0.89011 3.1416 2.8336e-005 16 63 3.9375 94 75 0.79787 3.1416 2.9687e-005 32 63 1.9688 47 75 1.5957 3.1416 2.9687e-005經過排序之結果，誤差最小之組合為： N2:N3=25:51, N4:N5=50:77。10-6 行星齒輪的組合
圖10.22 李維列舉之12種可能的行星系列(1-Arm，2-Sun) 行星齒輪系存在各種型式，李維氏(Levai)針對其構造作成12種基本模式，如圖10.22，其中1代表旋轉臂；2代表太陽齒。利用這些基本之組合可以變化其他較為複雜的組合。這個組合中，必須確定兩件事：一為各模式中，各齒輪之尺寸是否合適。其二是其相關之轉速比如何。茲就這兩方面進行討論。 齒輪之尺寸 基本上齒輪之尺寸與各模組之組合有關。為配合齒輪組之空間，各齒輪之直徑應有一定的規範，尤其內齒輪與外齒輪間之契合，必須兩者之齒輪直徑能夠相互容納。就圖10.22所示之12種模式下，其尺寸關係如下：
模式1： D2 + 2D3 = D4 模式2： D2 + 2D3 +2D4 = D5 模式3： D2 + 2D3 +D4 -D5= D6 模式4： D2 + D3 +D4+ 2D5 = D6 模式5： D2 -D3 +D4 + 2D5= D6 模式6： D2 +D3 +D4 = D5 模式7： D2 + D3 -D4 = D5 模式8： D2 -D3 +D4 = D5 模式9： D2 - D3 +D4 +D5 +D6= D7 模式10： D2 + D3 +D4 +D5 +D6= D7 模式11： D2 - D3 +D4 +D5 -D6= D7 模式12： D2 + 2D3 +D4 +D5 +D6= D7 (10.37)根據公式9.12，齒輪之直徑與齒數之關係為徑節。故公式10.37要化為各齒輪之齒數N時，必須以其對應直徑D與徑節Pd相乘。一對齒輪相契合時，其徑節必須相同，但對於同軸之另外其他對之齒輪則不一定有此限制。此在本章第2.5節中已有詳述。為使本項目討論過程簡化，可以假設整組模式所使用之齒輪徑節均相同。如此，公式10.37內之直徑D亦可直接更換為齒數N使用。 值得一提的是，在模式5、8、11中，因為輸入為內齒輪，故內齒輪之直徑應大於與其契合的外齒輪，其條件為D2 ＞ D3。此條在驗證時必須設法加入，以免輸入不合理的齒輪直徑。 模組之性能 要探討各模組的性能，主要是討論太陽齒輪之輸入軸、輸出軸、托臂及其轉速比等。圖10.22中每組僅有三個輸出入口，這三個軸之一可以固定，並令其他兩組分別為輸出入。其間之關係則可用公式法進行計算，而其速度比則可固定托臂，再視其輸出入之齒數比。計算公式如下： (10-38) 各組之轉速比VR分別為：模式1： VR= - N4 /N2 模式2： VR= + N5 /N2 模式3： VR= -( N4 /N2 )x (N6 /N5) 模式4： VR=+( N3 /N2 )x (N6 /N4) 模式5： VR= -( N3 /N2 )x (N6 /N4) 模式6： VR= -( N3 /N2 )x (N5 /N4) 模式7： VR= + ( N3 /N2 )x (N5 /N4) 模式8： VR= +( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式9： VR= - ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式10： VR=+ ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式11： VR= - ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式12： VR=+ ( N4 /N2 )x (N6 /N5) (10.39)
有各組之轉速比VR之後，即可計算三個轉間之實際轉速，設第一軸、托臂及最後軸之轉速分別為ωF、ωA、ωL，根據公式10.38可以分別改寫如下： 一、求第一軸： ωF=VRx(ωL-ωA)ωA (10.40) 二、求最後軸： ωL=(ωF-ωA)/VR+ωA (10.41) 三、求托臂： ωA=(VRxωL-ωF)/[VR-1] (10.42)程式應用
下面是利用MATLAB撰寫之函式程式planetary()，可以直接解圖10.22中各模組之關係，其呼叫格式如下：function [WF,WA,WL,RV]=planetary(wf,wa,wl,gearset,mode)其中之參數： wf, WF:第一輸入軸之角速度，ωF(rad/s)。 wl, WL:最後齒輪軸之角速度，ωL(rad/s)。 wa, WA:旋轉臂之角速度，ωA(rad/s)。 gearset:齒輪之齒數組合(由第二個齒輪算起)，列矩陣。 mode: 行星齒輪組之型式代碼(1~12, 參考圖10.22)。 執行上項函式時，輸入wf, wa, wl三個參數中，可容許一個為未知，其未知參數可用[]取代，但不能用0，因為0將認為該軸靜止不動或固定。若不知各組之齒輪數目及搭配之尺寸，則可設gearset=[]，程式會自動產生一個例子，可以代入執行。然後再設法修正。程式會自檢測所輸入之組合齒數是否適當，讀者可以自行檢驗。 程式內容：function [WF,WA,WL,RV]=planetary(wf,wa,wl,gearset,mode) %Program for section 10.6 to solve Levai's models % Find angular velocities of sun,arm and planetary % Variables: % wf,WF:angular vel. for the 1st input shaft % wl,WL:angular vel. for the last input shaft % wa,WA:anbular vel. for the arm shaft. % gearset:no of gear tooth in row matrix [n1 n2,..] % mode:types of gear set (1~12, as in Fig. 9.22) %Note:one of wf, wl & wa can be unknown and replaced by []. % if leave gearset in [], the program will respond % an example that matches the specific mode. % Example:[WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[18 30 28 20],7) % Designed by D. S. Fon, Bime of NTU, dated March 8,2003 % Revised: March 9, 2006 % preset signs for each set sinx=[-1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 +1]; example={'[15 45 105]','[18 15 12 72]','[30 15 12 18 54]',... '[30 15 20 20 105]','[80 15 12 30 137]','[40 15 20 75]'... ,'[80 20 40 60]','[100 30 50 120]','[80 15 12 18 12 107]'... ,'[60 30 15 30 15 150]','[40 20 12 20 40 52]',... '[60 30 12 30 162]'}; WA=0;WF=0;WL=0;RV=0; gearmin=12; mode(mode>12)=12; if isempty(gearset) disp('Example: ') example(mode) return end gearset=[mode gearset]; [code,ge]=examset(mode,gearset,gearmin); switch code case 2 disp('The last gear size has been modified.') ge(2:end) case 3 disp('Error occurs in size matching') return end % set up the no of gears required in the mode. switch mode case 1, rv=ge(4)/ge(2)*sinx(1); case 2, rv=ge(5)/ge(2)*sinx(2); case 3, rv=ge(4)/ge(2)*ge(6)/ge(5)*sinx(3); case {4,5}, rv=ge(3)/ge(2)*ge(6)/ge(4)*sinx(mode); case {6,7,8},rv= ge(3)/ge(2)*ge(5)/ge(4)*sinx(mode); case {9,10,11},rv= ge(3)/ge(2)*ge(5)/ge(4)*ge(7)/ge(6)*sinx(mode); otherwise rv= ge(4)/ge(2)*ge(6)/ge(5)*sinx(mode); end if isempty(wa), wa=(rv*wl-wf)/(rv-1); elseif isempty(wf), wf=rv*(wl-wa)+wa; else wl=1/rv*(wf-wa)+wa; end WA=wa;WF=wf;WL=wl;RV=rv; function [code,ge]=examset(mode,gearset,gemin) % Check the proper gear set imported % set up the no of gears required for a mode. max_item_no=[4 5 6 6 6 5 5 5 7 7 7 6]; code=1; %Forcing the minimum required teeth in a gear. gearset(gearset<gemin)=gemin; itemmax=max_item_no(mode); item_no=length(gearset); if itemmax>item_no, gearset=[gearset ones(1,12)*12]; gearset=gearset(1:item_no); end ge=abs(gearset); switch mode case 1, gtmp=ge(2)+2*ge(3); case 2, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+2*ge(4); case 3, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+ge(4)-ge(5); case 4, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+2*ge(5); case 5, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4)+2*ge(5); case 6, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4); case 7, gtmp=ge(2)+ge(3)-ge(4); case 8, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4); case 9, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4)+ge(5)+ge(6); case 10, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+ge(5)+ge(6); case 11, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+ge(5)-ge(6); case 12, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+ge(4)+ge(5); end if ge(itemmax)~=gtmp, ge(itemmax)=gtmp; code=2; end if mode==5|mode==8|mode==9, if ge(2)<ge(3), code=3;end end執行例一：使用其內部設定之範例，設定mode=3。>> [WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[],3)Example:ans = '[30 15 12 18 54]' WF = 0 WA = 0 WL = 0 RV = 0再將上值代入，執行結果：>> [WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[30 15 12 18 54],3) WF = 60 WA = 1 WL = -48.1667 RV = -1.2000執行例二：如圖10.14及範例10.6所述之型式如圖10.22之第一型，其中N2=15，N3=45，N4=105。若N4內齒輪固定，旋臂(連結N3齒)每轉一圈(即ωA=1)，則執行下列指令並得結果如下：>> [WF,WA,WL,RV]=planetary([],1,0,[15 45 105],1) WF = 8 WA = 1 WL = 0 RV = -7執行例三：如圖10.15及範例10.8設其旋轉臂轉速ωA為1 rad/s，而N2=A20=20，N3=B60=60，N4=D40=40，N5=E120=120，N6=C140=140。由圖10.15可知，本齒輪可由圖10.22中之第一型與第六型綜合。故開始時可利用第一型先求出輸入軸A對應旋轉臂之轉速，然後依第六型求得齒輪E之轉速。即>> [WF,WA,WL,RV]=planetary([],1,0,[20 60 140],1) WF = 8 WA = 1 WL = 0 RV = -7由其結果得到ω2=8 rad/s。其次依第六型求輸出軸E如下：>> [WF,WA,FL,rv]=planetary(WF,1,[],[20 60 40 120],6) WF = 8 WA = 1 WL = 0.22222 RV = -9由其結果得到ωE=0.22222 rad/s。其中WF為利用上式所得的結果。
圖10.22 李維列舉之12種可能的行星系列(1-Arm，2-Sun)
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