5/18/07

第十二章 齒列(2)

範例10.1


圖10.6之共軸齒列中若主從動齒輪之轉速比VR為10,且兩者之齒數需不得小於15齒時,求主從組合之徑節及齒輪4與5之齒數(齒輪2與齒輪3分別為20及30齒)。

[解]:

因為速度比之關係為:
VR=w2/w5 = (-H3/N2)(-N5/N4) =(-30/20)(-N5/N4) = 10



N5=N4/{N3/[R2 x RV]}=(20/3)N4


由於本題為共軸,下面各齒輪之直徑關係應成立:

D2 + D3 = D4 + D5


注意左邊之徑節Pd2應相同,但可以不同於右邊之徑節Pd4。即:
Pd2=Pd3=N2/D2=N3/D3
Pd4=Pd5=N4/D4=N5/D5


代入上式,得:
[N2 + N3]/Pd2 = [N4 + N5]/Pd4


將 之通式代入上式,可得 :

N4=(Pd4/Pd2)[N2+N3]/{1+)N2/N3)VR}=6.52(Pd4/Pd2)


利用MATLAB程式函數coaxial_trains()之運算如下:
function coaxial_trains(rv,n2,n3,teeth_limit,pitch_list)


輸入參數:

rv:速度比。
n2,n3:第一齒輪組合之齒數。
teeth_limit:所選齒輪之最低齒數。
pitch_list:可被選用之齒輪周節選單。

程式10.1
function coaxial_trains(rv,n2,n3,teeth_limit,pitch_list)
%
%prog 10.1
% pitch_list is a row vector for listing pitches of gears
% rv: velocity ratio
% teeth_limit:number of teeth limit for gears
% n2,n3: no. of teeth for the first pair gears
% Example:
%     pitch_list=[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56]
%     coaxial_trains(10,20,30,15,[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56])
nlist=length(pitch_list);
fact=n3/n2/rv;
['           N4       N5       Pd2      Pd4']
for i=1:nlist
pd2=pitch_list(i);
for j=1:nlist
pd4=pitch_list(j);
for k=teeth_limit:200
n4=k;
n5=n4/fact;
n4f=(n2+n3)/(1+1/fact)*(pd4/pd2);
if  fix(n5)==n5 & abs(n4f-n4)<0.1
[n4,n5,pd2,pd4]
end
end
end
end

執行例:設RV=10,N2=20,N3=30 及 最低齒數=15,求其可能之組合。

>> coaxial_trains(10,20,30,15,[1:.25:2,2.5,3,3.5,4:2:18,20:4:56])
ans =    N4   N5    Pd2   Pd4
ans =    87   580    1.5   20
ans =   174  1160    1.5   40
ans =    15   100   1.75    4*
ans =    87   580     3    40
ans =    15   100    3.5    8*
ans =    24   160    12    44*
ans =    15   100    14    32*
ans =    18   120    16    44*
上述中徑節比較接近的如具星號的組合。程式之輸入項中,pitch_list為業界所使用之可能徑節。

10-2.5複式齒輪組之設計

前面討論的齒輪組中,其速度比之計算較為直接而且容易,但若需要設計一套合乎預定轉速比之齒輪組時,則必須反向設計。換言之,先就已知齒輪組的轉速比決定各齒輪之齒數,此時計算之步驟變為相當複雜,而且必須使用嚐試與錯誤的方法。當然利用電腦進行演算則可以加快整個反設計之過程。本節將舉例介紹這種反向的演算法。 10-2.5.1 設計步驟 範例10.3設計一組複式齒輪使其轉速比為180。 [解]: 開始時,假設要設計一組複式齒輪使其轉速比為180。其考慮的因素及過程如下:
  • 1. 決定組合數:複式齒列可用串聯多個組合之方式達到整體轉速比。設計總是由最簡單的結構開始,由於每組之轉速比以維持在10以內為佳,超過此值時則需考慮增加齒輪組數。因此轉速比為180時必須用較多的組數才成達到目標。首先,將180開方,其值為13.416,仍然比10大,故使用兩組組合仍嫌不足,如將180開立方,其值為5.646,低於10甚多,故使用三組齒輪之組合。
  • 2. 若能直接找到轉速比為5.646之齒輪組合時,應是最好的選擇,因為只要將這種組合串聯三組即可。設驅動之小齒輪數最小為12齒(N2>=12)*,則依序可以得到對應大齒輪之齒數如下:
N3=5.646x12=67.75
N3=5.646x13=73.40
N3=5.646x14=79.06
N3=5.646x15=84.69
  • 3. 大齒輪齒數必須為整數。由上列之數值中,最接近整數者為79.06,故選用轉速比79:14是最佳選擇,串聯三組此轉速比之組合應可得到總轉速比為 (79/14)3=179.68,其值與理想比值180之誤差約0.2% 。若此複式齒輪作成之變速齒輪箱不作為計時之用,而僅作一般吊車的變速系統,則此項差異應可接受。其齒數順序為14:79;14:79;14:79等三組。
  • 4. 由於大部份製造機械均需要正確的轉速比,以免產生脫序運動。這時硬要三組之轉速比均相等並不一定適當,有些時候,可以就總轉速比值之性質求得不同組合之轉速比。起先仍可由180之開立方值出發,由其值5.646之近似整數如6開始。兩組串聯可得比值為36:1,再由180除以36可以得最後組之轉速比為5。則三組合之轉速比分別為6, 6, 5。若小齒輪為14齒,則其對應大齒輪分別為84, 84, 70。其齒數序為14:84,14:84,14:70。此處小齒輪採用14齒係因在壓力角25度時,可以防止內切的最小齒數。
10-2.5.2 實例應用

範例10.4 試設計一套如圖10.6之共軸齒列,令其輸入與輸出軸之轉速比VR=18。

[解]:

相關步驟說明如下:

  • 1. 雖然VR不一定為整數,但若為整數則會使解題更為簡化。
  • 2. 將VR=18開平方,得4.2426,其值小於每組合應低於10之限制,故可使用兩組合串列的方式,構成一齒列。
  • 3. 若能找到將一組正好等於4.2626之轉速比時即可使用雙組同比值的方式,其軸距即可相同,並符合共軸之條件。其步驟是先以小齒輪最低齒數12開始,相乘之,利用MATLAB指令可計算如下:
>>VR=18;  %整組之轉速比設為18。
>>mr=sqrt(VR); %以開方先取得單組轉速比估計值。得mr=4.2426。
>>T1=[12:40]’; %先設定驅動輪由12齒開始至40齒可能範圍,行矩陣。
>> T2=round(T1.*mr); %以估計值計算被動齒輪之齒數。
>>VR2=(T2./T1).^2; %計算實際之總轉速比。
>>Diff=(VR2-VR)/VR*100;%求其誤差百分比。
>>[T1 T2 VR2 Diff]  %列出相關值
ans =
12.0000   51.0000   18.0625    0.3472
13.0000   55.0000   17.8994   -0.5588
14.0000   59.0000   17.7602   -1.3322
15.0000   64.0000   18.2044    1.1358
16.0000   68.0000   18.0625    0.3472
17.0000   72.0000   17.9377   -0.3460
18.0000   76.0000   17.8272   -0.9602
19.0000   81.0000   18.1745    0.9695
20.0000   85.0000   18.0625    0.3472
21.0000   89.0000   17.9615   -0.2142
22.0000   93.0000   17.8698   -0.7231
23.0000   98.0000   18.1550    0.8612
24.0000  102.0000   18.0625    0.3472
25.0000  106.0000   17.9776   -0.1244
26.0000  110.0000   17.8994   -0.5588
27.0000  115.0000   18.1413    0.7849
28.0000  119.0000   18.0625    0.3472
29.0000  123.0000   17.9893   -0.0595
30.0000  127.0000   17.9211   -0.4383
31.0000  132.0000   18.1311    0.7284
32.0000  136.0000   18.0625    0.3472
33.0000  140.0000   17.9982   -0.0102
34.0000  144.0000   17.9377   -0.3460
35.0000  148.0000   17.8808   -0.6621
36.0000  153.0000   18.0625    0.3472
37.0000  157.0000   18.0051    0.0284
38.0000  161.0000   17.9508   -0.2732
39.0000  165.0000   17.8994   -0.5588
40.0000  170.0000   18.0625    0.3472
其中第一行為驅動軸由12齒至40齒之變化;第二行為轉速比維持4.2626時之被動輪齒數(整數);第三行為實際計算之轉速比;最後一行為計算誤差百分比。就所得之值觀察,T1=12之誤差為0.3472%,差強人意。最小者為T1=33,其誤差為-0.0102%,不過被動輪為140齒,顯然嫌大些。
  • 4. 採用18之質因數,並將兩組合設成不同轉速比。在每組VR值不超過10之情況下,其可能集合有[9X2]、[6X3]等兩種。在齒輪組的考慮中應選齒數較不懸殊的組合,故取[6X3]。
  • 5. 設兩組速度比之組合為[6X3]。原則上小齒輪應不小於12齒,故所選的組合必須乘一個係數。至於選取何係數,兩個組合可以不同。
  • 6. 基於共軸,各組合間之齒數關係如下,且設等於常數K:
N2 + N3 = N4 + N5 = K
VR = w2/w3 = (-N3/N2)(-N5/N4)=N3N5/(N2N4)
  • 7. 要解上兩式,前一組合之VR=6,後一組合之VR=3,則
N3/N2=6   therefore, N3=6N2
N5/N4=3   therefore, N5=3N4
  • 8. 聯合上面之公式,可得下面之結果:
K = 7N2   K=4N2
  • 9. K值之最小公倍數應為28,因此N2=4,N4=7。
  • 10. 為防止內切的問題,壓力角為25度時之最小齒數應為12齒,故N2及N4應乘三倍,即得此齒列之兩組合之齒數分別為N2=12,N3=72;N4=21,N5=63。

10-2.5.3謝福吉(Selfridge)法

同軸複式齒列但具有非整數轉速比設計問題則較為複雜。有些齒列之轉速比不但非為整數,有時為無理數,尤其當英制系統轉為公制或有π的常數隱藏其中時,更無法以整數比作出近似之組合。故如何找出近似的比值相當重要。下面介紹的計算法稱為謝福吉(Selfridge)法,通常可應用到三個組合以內之演算。 設齒數之最高及最低齒限分別為Nmax、Nmin,其容許誤差為ε,則因
VR =N3N5/(N2N4)
轉速比之最高與最低範圍為
VRhigh=VR + e; VRlow=VR - e
VRlow<=N3N5/(N2N4)<=VRhigh
由於齒數需為整數,其最大及最小齒數為Nmax、Nmin,其關係如下:
Nmin=ceil(N2N4VRlow<=N3N5<=fix(N2N4VRlow)=Nmax
式中,函數CEIL()表示將取接近數值之高整數;而函數FIX()則取接近數值之低整數。

10-2.5.4 MATLAB程式函數

利用電腦重複測試之能力可以找出合適之齒數,使其值落於Nmax與Nmin之間。 其MATLAB程式函數two_stage_trains()如下:
function [result,counter]=two_stage_trains(rv,nmin,nmax,epx)
此程式處理兩組合齒輪組。輸入參數為: rv:速度比。 nmin:最低齒數限。 nmax:最高齒數限。 epx:容許誤差。 輸出則為RESULT及counter。前者包括齒輪2及3之齒數,該組之轉速比;齒輪4及5之齒數,該組之轉速比;總轉速比及誤差。counter為計數實際無法達成之次數,程式中每連續試一次無法達到原設定之容許誤差時,誤差值會自動加倍,直到得到較滿意的答案為止。 程式10.2
function [RESULT,counter]=two_stage_trains(rv,nmin,nmax,epx)
%
%prog 10.2
% Find the grear teeth for the set of coaxil gear trains
% rv: velocity ratio
% nmax,nmin:max.& min. number of teeths can be used for gears
% epx: error
% RESULT:a row matrix of eight elements, including
%   N2   N3  RV1    N4   N5  RV2      RV      error
% Example:
%     two_stage_trains(pi,15,100,3.1416e-5)
epsx=epx;
counter=0;
['  N2   N3  RV1    N4   N5  RV2    RV    誤差']
ok=1;
while ok,
ss=1;
rv_h=rv+epx; rv_l=rv-epx;
nh3=fix(nmax^2/rv_h);
nh4=fix(nmax/sqrt(rv_h));
for pin1=nmin:nh4
nhh=min(nmax,fix(nh3/pin1));
for pin2=pin1:nhh
tm=fix(pin1*pin2*rv_h);
tn=ceil(pin1*pin2*rv_l);
if tm>=tn
nm=max(nmin,fix((tn+nmax-1)/nmax));
np=sqrt(tm);
for k=tn:tm
for gear1=nm:np
if (mod(k,gear1))==0
gear2=k/gear1;
error=(rv-k/(pin1*pin2));
if error<=epx
ratio1=gear1/pin1;
ratio2=gear2/pin2;
ratio=ratio1*ratio2;
result(ss,:)=[pin1,gear1,ratio1,pin2,gear2,ratio2,ratio,abs(error)];
ss=ss+1;
end
end
end
end
end
end
end
if ss==1
epx=epx*2;
counter=counter+1;
else
ok=0;
end
end
RESULT=sortrows(result,8);
執行例: 設計一同軸複式齒例,其轉速比為π,最高齒數為100齒,最低為15齒,容許誤差為e-5π。 執行two_stage_trains()函式,結果如下:
>> a=two_stage_trains(pi,15,100,3.1416e-5)
ans =
N2   N3  RV1    N4   N5  RV2      RV      誤差
a =
25        51      2.04      50        77         1.54       3.1416  7.3464e-006
29        88    3.0345      85        88       1.0353       3.1416  1.0503e-005
22        62    2.8182      61        68       1.1148       3.1416  1.2922e-005
33        68    2.0606      61        93       1.5246       3.1416  1.2922e-005
43        77    1.7907      57       100       1.7544       3.1416  1.7786e-005
28        85    3.0357      86        89       1.0349       3.1416  1.8642e-005
43        85    1.9767      56        89       1.5893       3.1416  1.8642e-005
23        75    3.2609      82        79      0.96341       3.1416  2.3194e-005
41        75    1.8293      46        79       1.7174       3.1416  2.3194e-005
17        54    3.1765      91        90      0.98901       3.1416  2.8336e-005
17        60    3.5294      91        81      0.89011       3.1416  2.8336e-005
16        63    3.9375      94        75      0.79787       3.1416  2.9687e-005
32        63    1.9688      47        75       1.5957       3.1416  2.9687e-005
經過排序之結果,誤差最小之組合為: N2:N3=25:51, N4:N5=50:77。

10-6 行星齒輪的組合

圖10.22 李維列舉之12種可能的行星系列(1-Arm,2-Sun) 行星齒輪系存在各種型式,李維氏(Levai)針對其構造作成12種基本模式,如圖10.22,其中1代表旋轉臂;2代表太陽齒。利用這些基本之組合可以變化其他較為複雜的組合。這個組合中,必須確定兩件事:一為各模式中,各齒輪之尺寸是否合適。其二是其相關之轉速比如何。茲就這兩方面進行討論。 齒輪之尺寸 基本上齒輪之尺寸與各模組之組合有關。為配合齒輪組之空間,各齒輪之直徑應有一定的規範,尤其內齒輪與外齒輪間之契合,必須兩者之齒輪直徑能夠相互容納。就圖10.22所示之12種模式下,其尺寸關係如下:
模式1: D2 + 2D3 = D4
模式2: D2 + 2D3 +2D4 = D5
模式3: D2 + 2D3 +D4 -D5= D6
模式4: D2 + D3 +D4+ 2D5 = D6
模式5: D2 -D3 +D4 + 2D5= D6
模式6: D2 +D3 +D4 = D5
模式7: D2 + D3 -D4 = D5
模式8: D2 -D3 +D4 = D5
模式9: D2 - D3 +D4 +D5 +D6= D7
模式10: D2 + D3 +D4 +D5 +D6= D7
模式11: D2 - D3 +D4 +D5 -D6= D7
模式12: D2 + 2D3 +D4 +D5 +D6= D7                                  (10.37)
根據公式9.12,齒輪之直徑與齒數之關係為徑節。故公式10.37要化為各齒輪之齒數N時,必須以其對應直徑D與徑節Pd相乘。一對齒輪相契合時,其徑節必須相同,但對於同軸之另外其他對之齒輪則不一定有此限制。此在本章第2.5節中已有詳述。為使本項目討論過程簡化,可以假設整組模式所使用之齒輪徑節均相同。如此,公式10.37內之直徑D亦可直接更換為齒數N使用。 值得一提的是,在模式5、8、11中,因為輸入為內齒輪,故內齒輪之直徑應大於與其契合的外齒輪,其條件為D2 > D3。此條在驗證時必須設法加入,以免輸入不合理的齒輪直徑。 模組之性能 要探討各模組的性能,主要是討論太陽齒輪之輸入軸、輸出軸、托臂及其轉速比等。圖10.22中每組僅有三個輸出入口,這三個軸之一可以固定,並令其他兩組分別為輸出入。其間之關係則可用公式法進行計算,而其速度比則可固定托臂,再視其輸出入之齒數比。計算公式如下: (10-38) 各組之轉速比VR分別為:

模式1: VR= - N4 /N2 模式2: VR= + N5 /N2 模式3: VR= -( N4 /N2 )x (N6 /N5) 模式4: VR=+( N3 /N2 )x (N6 /N4) 模式5: VR= -( N3 /N2 )x (N6 /N4) 模式6: VR= -( N3 /N2 )x (N5 /N4) 模式7: VR= + ( N3 /N2 )x (N5 /N4) 模式8: VR= +( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式9: VR= - ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式10: VR=+ ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式11: VR= - ( N3 /N2 )x (N5 /N4) x (N7 /N6) 模式12: VR=+ ( N4 /N2 )x (N6 /N5) (10.39)

有各組之轉速比VR之後,即可計算三個轉間之實際轉速,設第一軸、托臂及最後軸之轉速分別為ωF、ωA、ωL,根據公式10.38可以分別改寫如下: 一、求第一軸:   ωF=VRx(ωL-ωA)ωA            (10.40) 二、求最後軸: ωL=(ωF-ωA)/VR+ωA (10.41) 三、求托臂: ωA=(VRxωL-ωF)/[VR-1] (10.42)

程式應用

下面是利用MATLAB撰寫之函式程式planetary(),可以直接解圖10.22中各模組之關係,其呼叫格式如下:
function [WF,WA,WL,RV]=planetary(wf,wa,wl,gearset,mode)
其中之參數: wf, WF:第一輸入軸之角速度,ωF(rad/s)。 wl, WL:最後齒輪軸之角速度,ωL(rad/s)。 wa, WA:旋轉臂之角速度,ωA(rad/s)。 gearset:齒輪之齒數組合(由第二個齒輪算起),列矩陣。 mode: 行星齒輪組之型式代碼(1~12, 參考圖10.22)。 執行上項函式時,輸入wf, wa, wl三個參數中,可容許一個為未知,其未知參數可用[]取代,但不能用0,因為0將認為該軸靜止不動或固定。若不知各組之齒輪數目及搭配之尺寸,則可設gearset=[],程式會自動產生一個例子,可以代入執行。然後再設法修正。程式會自檢測所輸入之組合齒數是否適當,讀者可以自行檢驗。 程式內容:
function [WF,WA,WL,RV]=planetary(wf,wa,wl,gearset,mode)
%Program for section 10.6 to solve Levai's models
% Find angular velocities of sun,arm and planetary
% Variables:
%    wf,WF:angular vel. for the 1st input shaft
%    wl,WL:angular vel. for the last input shaft
%    wa,WA:anbular vel. for the arm shaft.
%    gearset:no of gear tooth in row matrix [n1 n2,..]
%    mode:types of gear set (1~12, as in Fig. 9.22)
%Note:one of wf, wl & wa can be unknown and replaced by [].
%     if leave gearset in [], the program will respond
%        an example that matches the specific mode.
% Example:[WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[18 30 28 20],7)
% Designed by D. S. Fon, Bime of NTU, dated March 8,2003
% Revised: March 9, 2006
% preset signs for each set
sinx=[-1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 +1];
example={'[15 45 105]','[18 15 12 72]','[30 15 12 18 54]',...
'[30 15 20 20 105]','[80 15 12 30 137]','[40 15 20 75]'...
,'[80 20 40 60]','[100 30 50 120]','[80 15 12 18 12 107]'...
,'[60 30 15 30 15 150]','[40 20 12 20 40 52]',...
'[60 30 12 30 162]'};
WA=0;WF=0;WL=0;RV=0;
gearmin=12;
mode(mode>12)=12;
if isempty(gearset)
disp('Example: ')
example(mode)
return
end
gearset=[mode gearset];
[code,ge]=examset(mode,gearset,gearmin);
switch code
case 2
disp('The last gear size has been modified.')
ge(2:end)
case 3
disp('Error occurs in size matching')
return
end

% set up the no of gears required in the mode.
switch mode
case 1, rv=ge(4)/ge(2)*sinx(1);
case 2, rv=ge(5)/ge(2)*sinx(2);
case 3, rv=ge(4)/ge(2)*ge(6)/ge(5)*sinx(3);
case {4,5}, rv=ge(3)/ge(2)*ge(6)/ge(4)*sinx(mode);
case {6,7,8},rv= ge(3)/ge(2)*ge(5)/ge(4)*sinx(mode);
case {9,10,11},rv= ge(3)/ge(2)*ge(5)/ge(4)*ge(7)/ge(6)*sinx(mode);
otherwise
rv= ge(4)/ge(2)*ge(6)/ge(5)*sinx(mode);
end
if isempty(wa), wa=(rv*wl-wf)/(rv-1);
elseif isempty(wf), wf=rv*(wl-wa)+wa;
else  wl=1/rv*(wf-wa)+wa;
end
WA=wa;WF=wf;WL=wl;RV=rv;

function [code,ge]=examset(mode,gearset,gemin)
% Check the proper gear set imported
% set up the no of gears required for a mode.
max_item_no=[4 5 6 6 6 5 5 5 7 7 7 6];
code=1;
%Forcing the minimum required teeth in a gear.
gearset(gearset<gemin)=gemin;
itemmax=max_item_no(mode);
item_no=length(gearset);
if itemmax>item_no,
gearset=[gearset ones(1,12)*12];
gearset=gearset(1:item_no);
end
ge=abs(gearset);
switch mode
case 1, gtmp=ge(2)+2*ge(3);
case 2, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+2*ge(4);
case 3, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+ge(4)-ge(5);
case 4, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+2*ge(5);
case 5, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4)+2*ge(5);
case 6, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4);
case 7, gtmp=ge(2)+ge(3)-ge(4);
case 8, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4);
case 9, gtmp=ge(2)-ge(3)+ge(4)+ge(5)+ge(6);
case 10, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+ge(5)+ge(6);
case 11, gtmp=ge(2)+ge(3)+ge(4)+ge(5)-ge(6);
case 12, gtmp=ge(2)+2*ge(3)+ge(4)+ge(5);
end         
if ge(itemmax)~=gtmp,
ge(itemmax)=gtmp;
code=2;
end
if mode==5|mode==8|mode==9,
if ge(2)<ge(3), code=3;end
end
執行例一:使用其內部設定之範例,設定mode=3。
>> [WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[],3)
Example:
ans =
'[30 15 12 18 54]'
WF =
0
WA =
0
WL =
0
RV =
0
再將上值代入,執行結果:
>> [WF,WA,WL,RV]=planetary(60,1,[],[30 15 12 18 54],3)
WF =
60
WA =
1
WL =
-48.1667
RV =
-1.2000
執行例二:如圖10.14及範例10.6所述之型式如圖10.22之第一型,其中N2=15,N3=45,N4=105。若N4內齒輪固定,旋臂(連結N3齒)每轉一圈(即ωA=1),則執行下列指令並得結果如下:
>> [WF,WA,WL,RV]=planetary([],1,0,[15 45 105],1)

WF =     8
WA =     1
WL =     0
RV =     -7
執行例三:如圖10.15及範例10.8設其旋轉臂轉速ωA為1 rad/s,而N2=A20=20,N3=B60=60,N4=D40=40,N5=E120=120,N6=C140=140。由圖10.15可知,本齒輪可由圖10.22中之第一型與第六型綜合。故開始時可利用第一型先求出輸入軸A對應旋轉臂之轉速,然後依第六型求得齒輪E之轉速。即
>> [WF,WA,WL,RV]=planetary([],1,0,[20 60 140],1)
WF =     8
WA =     1
WL =     0
RV =    -7
由其結果得到ω2=8 rad/s。其次依第六型求輸出軸E如下:
>> [WF,WA,FL,rv]=planetary(WF,1,[],[20 60 40 120],6)
WF =     8
WA =     1
WL =    0.22222
RV =    -9
由其結果得到ωE=0.22222 rad/s。其中WF為利用上式所得的結果。