分析四連桿分析方式有圖解法及閉路型分析法，故其可能得到的解常是相當直接的，而且容易得到一對一的答案。這對於電腦軟體之使用，有時也會造成相當大的困擾，因為不同型式之機構存在有不同的解法，因此也需要建立不同的程式。所以許多以疊代法的技巧建立的軟體開始被使用。疊代法是利用電腦反覆運算的能力，使其答案能趨近於固定的值。故計算的次數到底需要多少次，並無法預知，甚至是否能得到正確答案，也難有定論。這也是利用電腦疊代運算時必須特別留意的。
代數分析法
要瞭解四連桿組之位置，有多種解析法可以應用，諸如三角函數法、複數法、向量法或矩陣法等等，大部份需依賴電腦程式輔助分析。茲就三角函數解析法之過程作一介紹。
圖3.1所示為一四連桿之各項參數，設四桿之度長度為r1、r2、r3、r4，其中r1與地平行，且為固定桿，而其餘各桿與水平x軸之夾角分別為θ2、θ3、θ4。第一桿之夾角θ1為零，為簡化起見故不在此表示。另D點為插植爪的端點，BCD為插稙植機構之活動部位，是一個整體的元件。
1-6.3.1 相關公式
由座標的關係，B結之座標可以表示如下：
(1.50)
圖1.16 四連桿各結構參數
由B與C結之座標與桿3及桿4長度間具有如下之關係：
(1.51)
(1.52)
將公式1.51與1.52相減，可以得到C結之座標值，即：
(1.53)
設前項中之值為m，後面屬於Cy之係數為p，即：
(1.54)
則公式1.53可化簡為：
(1.55)
將式1.55代入式1.51，可以得到Cy之一元二次方程式，解之得：
(1.56)
由Cy可以經由式1.55求得Cx，並得到桿3及桿4之夾角θ3與θ4。
(1.57)
1-6.3.2 MATLAB函數的計算
上述過程中為直接解出各角度，須注意公式1.56中應有兩值，而且應確定根號內須為正實數，若為負值表示所提供的連桿長度無法組成四連桿。利用MATLAB求解上述過程下面之程式。其呼叫函式為four_link1()：
function [theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1(theta2,r,mode)
其中輸入參數：
theta2: 桿2之輸入角度，可為矩陣資料。
r: 列矩陣，各桿之長度，如：[r1 r2 r3 r4]。
mode:+1或-1，選擇連桿組上下之方位。
輸出參數：
theta3,theta4：桿3及桿4之輸出角度。
Cx,Cy：第四桿C結之座標，若為虛數值表示該位置不存在，其輸出角度不能採用。
程式4.5
function [theta3,theta4,Cx,Cy]=four_link1(theta2,r,mode)
%
%P4.4 function [theta]=four_link1(theta2,r)
% Find the angles of link 3 and link, given theta2 and [r]
% Example:
% [theta3,theta4, Cx, Cy]=four_link1(80,[4 2 4.2 2.6],1)
% Designed by D.S. Fon, BIME, NTU, Date:February 8,2003.
%
rr=r.*r;
d2g=pi/180;
theta=theta2'*d2g;
Bx=r(2)*cos(theta);By=r(2)*sin(theta);
m=(rr(4)-rr(3)-rr(1)+rr(2))./(Bx-r(1))/2;
mm=(m-r(1)).^2;
p=By./(Bx-r(1));pp=p.*p;
rootin=mm.*pp-(pp+1).*(mm-rr(4));
arg=sqrt(rootin);
Cy=((m-r(1)).*p+mode*arg)./(pp+1);
Cx=m-p.*Cy;
theta3=atan2(Cy-By,Cx-Bx)/d2g;
theta4=atan2(Cy,Cx-r(1))/d2g;
figure(1);
axis equal;
grid on;
for i=1:length(theta)
x=[0 r(2)*cos(theta(i)) Cx(i) r(1) 0];
y=[0 r(2)*sin(theta(i)) Cy(i) 0 0];
line(x,y);
end
執行例：
>> [theta3,theta4, Cx, Cy]=four_link1([0:30:360],[4 2 4.2 2.6],1)
theta3 = 27.66 11.357 8.1593 8.1473 9.8818 13.856 21.54 33.648 48.095 61.277 68.159 58.945 27.66
theta4 = 48.583 44.646 63.565 86.525 109.37 129.51 143.62 149.31 147.58 139.65 123.56 92.234 48.583
Cx = 5.72 5.8498 5.1575 4.1576 3.1377 2.3457 1.9067 1.7643 1.8052 2.0184 2.5625 3.8987 5.72
Cy = 1.9498 1.8271 2.3281 2.5952 2.4528 2.0058 1.5421 1.3272 1.3938 1.6832 2.1665 2.598 1.9498
圖17 代數法求得四連桿之軌跡
3.7.1向量迴路法
利用解析法解位置關係有許多方法，如三角幾何法、複數法、向量法或矩陣法等。在機構解析過程中，尤其連桿機構，常用向量迴路法。這種方法可應用於簡單機構，亦可應用於複雜機構，但實際之解題過程中，仍然必須依照向量的法則及相關的數學運算。利用向量迴路法可以配合數值分析法或電腦程式進行計算，因此可以分析位置、速度及加速度等機構上常見到的問題。除平面機構外，向量迴路法亦可應用於空間機構，但由於計算過程複雜，有時需配合矩陣法。
向量迴路法係依機構之方位及座標系，若給予適當的向量，使之成為一個迴路，則每一迴路可以產生對應之迴路方程式，以進行求解。對於簡單機構而言，僅能形成一個獨立向量迴路方程式，但對於複合機構則需要更多組聯立方程式才得以求解。通常依尤拉定理(Euler)可以判斷所需之迴路數，即：
Ｌ＝Ｊ－Ｎ＋１ (3.1)
其中J為連結度為1之接頭數；N為連桿數。當L大於一時，即需要等數之聯立方程式才能求解。
3.7.2任意向量的表示法
連桿之結構因連接之桿數及活動結之位置條件不同，其活動範圍亦異。開放式的連桿系，其運動的自由度較高。兩桿加一活動結又稱為dyad結構。任何幾何的機構均可利用位移向量、速度及加速之封閉方程式說明。
圖3.1任意向量之分析位置向量的表示法常用者有向量法，將其分成三個方向之座標。如Rop，可以用下次表示：
rp = r1 + r2 + r3
r1 = r1 ( cosθ1 i + sinθ1 j )
r2 = r2 ( cosθ2 i + sinθ2 j )
r3 = r3 ( cosθ3 i + sinθ3 j )
----------------------------------(3.2)
或以通式表示，位置向量可以改寫如下：
rk = rk ( cosθk i + sinθk j ) k = 1, 2, 3
-----------------------------------(3.3)
以往分析速度及加速度等有圖解法及一般閉路型分析法，故其可能得到的解常是相當直接的，而且也可以得到一對一的答案。這對於電腦軟體之使用，有時也會造成相當大的困擾，因為不同型式之機構存在有不同的解法，因此也需要建立不同的程式。所以許多以疊代法的技巧建立的軟體開始被使用。疊代法是利用電腦反覆運算的能力，使其答案能趨近於固定的值。故計算的次數到底需要多少次，並無法預知，甚至是否能得到正確答案，也難有定論。這也是利用電腦疊代運算時必須特別留意的。
四連桿之結構
首先以四連桿之機構為例。通常第一連桿為固定，第二連桿作為驅動桿，則依幾何關係可以作如下的陳述：
圖1. 四連桿之位置分析就垂直座標之x與y分向量，四連桿形成一個閉路，由△OQR及△PQR之餘弦函數可得下列兩式：
Z² = r1² + r2² – 2 r1 r2 cosθ2
Z² = r3² + r4² – 2 r3 r4 cosγ
合併上兩式，
Z² = r1²+r2²–2r1r2 cosθ2
= r3²+r4²–2r3r4 cosγ
由此等式可以獲得傳遞角(Transmission angle)，γ為
γ = cos-1{ [r1²+r2²-r3²-r4²-2r1 r2cosθ2]/[-2r3r4] }
=cos-1{[Z2-r3²-r4²]/[–2r3r4]}
= f(θ2)
此處Z值可由第一式得知，只要θ2為已知即可，故γ值可以由以上兩式求得。因此，實際上，Z值應為θ2之函數。由於反餘弦應有兩個對應角度，故在實際運作上，四連桿亦應因角度大於或小於90度而有兩種安排，其情如下圖所示，或為密合型(Closure)或分支型(Branch)。
圖2. 密合型與分支型之變化比較在正常的四連桿運作範圍，連桿3與連桿4間之夾角，或為傳遞角γ，其最佳的角度應趨近於直角，若運轉中傳遞角偏離90度或-90度超過45度時，則會因摩擦力增加，容易造成連桿打結。
四連桿之輸出桿與輸入桿角度之變化關係則仍可由圖1獲得。根據餘弦定理得知：
α = cos-1[ (Z² +r4² –r3² ) / (2 Z r4) ]
β = cos-1[ (Z² +r1² –r2² ) / (2 Z r1) ]
而第四連桿之輸出角θ4與上述之二角度α與β則如下之關係：
θ4 = 180 – (α + β )
在這裡因為α與β之角度可能為負值。以閉合型而言，上述兩角度均為正值，但分支型之角度β仍然維持正值，而α為負值，因為方向已經與閉合型相反。為取得符號一致性，通常是當 0° ≦θ2＜180°時，β之值應在0° ≦β＜180°之區間；而當 180°≦θ2＜360°時，β之值應選在180°≦β＜360°之間，而讓α值分成正負來調適θ4實際之需要情況。
這種由輸入角求輸出角的過程，通常稱為位置分析。本例中僅舉實際三角函數法作為分析的基本，其亦有向量法或極座標法可以做同樣的分析工作。而連桿若超過四個時，其分析的過程將更為複雜。
例2.1 一四連桿組如圖1所示，各桿之尺寸分別為r1=21cm、r2=9cm、r3=24cm、r4=18cm。當輸入角θ2為60°時，試求其傳遞角γ及輸出角θ4。
解：以MATLAB程式撰寫如下：
r=[21 9 24 18]’;
tograd=pi/180;
theta2=60*tograd;
zz=rr(1)+rr(2) – 2*r(1)*r(2)*cos(theta2);
z=sqrt(zz);
rr=r*.r;
gama=arcos((rr(1)+rr(2)-rr(3)-rr(4)-2*r(1)*r(2)*cos(theta2))/(-2*r(3)*r(4)));
alpha=arcos((zz + rr(4) – rr(3))/(2*z*r(4))
beta=arcos((zz+rr(1)-rr(2))/(2*z*r(1))
theta4=(pi-gama-alpha)/tograd;
疊代法之應用
前面所用的方法為閉合型之運算法，這種方法是直接以理論的公式計算其答案。在簡單的結構中，通常這種運算可以輕易進行，雖然也可以藉助電腦程式之運算，但仍然不容易以相同的軟體結構應付所有的狀況。這也是疊代法仍然在電腦程式中廣被應用的原因。疊代法是重覆作同樣的運算，使其能收斂在答案的附近，而獲得所有其他角度之數值(包括桿3之夾角θ3)。由於電腦運作速度相當快，對於一般之解題並不需要多少時間，而且答案的準確性亦能符合實際的需要。
我們同樣以圖1所示之四連桿機構為討論之基礎，則其在水平與垂直座標方向之分向量亦會形成一個閉路，即所有連桿之位置向量在各座標上之投影和應為零：
X-方向： r1cos 0 +r4cos(θ4)–r2 cos(θ2)–r3 cos(θ3) = 0
Y-方向： r1sin 0 +r4sin(θ4)–r2 sin(θ2)–r3 sin(θ3) = 0
在本例中，連桿一設為水平，故其夾角為零，且連桿之各長度及輸入角度θ2為已知，故未知變為θ3及θ4。理論上兩個方程式有兩個未知數應可以得解，但由於上述二方程式之未知數屬於三角函數，故不能立即解其聯立方程式，因此必須引入疊代的觀念。
將上兩式方程式改寫成函數形式：
r1 +r4 cos(θ4)–r3cos(θ3)–r2cos(θ2)
= f1(θ3, θ4) =f1(θ)
r4 sin(θ4)–r3sin(θ3)–r2sin(θ2)
= f2(θ3, θ4) =f2(θ)
函數f1(θ)、f2(θ)所代表為兩方程式計算後之值，亦即設法找到使此兩函數值均為零之解即為最終答案，故此兩函數僅屬暫時性之代表值。而因變數所代表者θ=[θ3, θ4]。疊代法在此之主要目的是求得θ3, θ4之兩個根，以符合f1(θ)=f2(θ)=0的條件。
開始時，我們可以先任意假設θ3, θ4之值作為上述函數之初根，通常第一次假設絕對不會有那麼幸運，與實際根一定會有誤差，設其誤差分別為△θ3, △θ4，則兩函數可以表示如下：
fi(θ3+△θ3, θ4+△θ4)
= fi (θ+△θ) =0 i =1,2
利用泰勃展開式將上式展開，並僅取其前兩項：
fi(θ+△θ)
= fi(θ)+dfi/d(θ3)△θ3+dfi/d(θ4) △θ4 =0
i =1,2
換言之，我們可以將上兩次讓它等於零，然後進行趨近法疊代的方式：
[df1/d(θ3) △θ3] + [df1/d(θ4) △θ4] = - f1(θ)
[df2/d(θ3) △θ3] + [df2/d(θ4) △θ4] = - f2(θ)
利用原來座標公式，將偏微分部分各取代之，即：
(df1/d(θ3) = r3 sinθ3
(df1/d(θ4) = - r4 sinθ4
(df2/d(θ3) = - r3 cosθ3
(df2/d(θ4) = r4 cosθ4
將此四式分別代入上述兩式，即可獲得以△θ3及△θ4為未知數之線性之聯立方程式，由於f1(θ)及f2(θ)均為已知，故可立即得解。
[ r3sin(θ3)] △θ3– [ r4 sin(θ4)] △θ4 = -f1(θ3,θ4)
[-r3cos(θ3)] △θ3 + [ r4 cos(θ4)] △θ4 = -f1(θ3,θ4)
設[A]、[△θ]、[F]分別代表上述方程式之元素，其內容如下：
[A] =
r3 sinθ3 - r4 sin θ4
-r3 cosθ3 r4 cos θ4
[△θ] =
△θ3
△θ4
[F] =
-f1(θ3, θ4)
-f1(θ3, θ4)
配合這些矩陣，可以將上式簡化為矩陣方程式，並得到矩陣解[△θ]：
[ A ] [△θ] = [ F]
[△θ] = [ A ] \ [ F]
得到[△θ]後，即可求得△θ3與 △θ4
新的θ3及θ4值則可如下計算作為下次計算時之初值。
θ3(新) =θ3(舊) +△θ3
θ4(新) =θ4(舊) +△θ4
其流程如下所示：
例2:同例1之四連桿，試進行位置分析
圖4.15 執行four_link2(0:10:360,[4 2 4.2 2.6],1)之結果
